Calcular os valores de sen(15^circ) e tg(105^circ)

Passo 1

O enunciado pede calcular sin(15^circ) e tan(105^circ). Vamos usar as fórmulas trigonométricas de diferença e soma de arcos e os valores exatos de sin e cos de ângulos notáveis, como 30^circ, 45^circ e 60^circ.

Passo 2

Para sin(15^circ) escrevemos 15^circ = 45^circ - 30^circ e aplicamos a identidade de diferença:
sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)
Logo,
sin(15^circ) = sin(45^circ)cos(30^circ) - cos(45^circ)sin(30^circ)

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos
sin(45^circ)=raiz22, cos(30^circ)=raiz32, cos(45^circ)=raiz22, sin(30^circ)=12, temos
sin(15^circ) = raiz22cdotraiz32 - raiz22cdot12 = raiz64 - raiz24 = raiz6 - raiz24

Passo 4

Para tan(105^circ) observamos que 105^circ = 60^circ + 45^circ e usamos a identidade de soma:
tan(a + b) = tan(a) + tan(b)1 - tan(a)tan(b)
Logo,
tan(105^circ) = tan(60^circ) + tan(45^circ)1 - tan(60^circ)tan(45^circ)

Passo 5

Substituindo tan(60^circ)=raiz3 e tan(45^circ)=1:
tan(105^circ) = raiz3 + 11 - raiz3
e racionalizando o denominador com 1+raiz3:
tan(105^circ) = (raiz3 + 1)(1 + raiz3)(1 - raiz3)(1 + raiz3) = 3 + 2raiz3 + 1-2 = -2 - raiz3

Resposta

sin(15^circ) = raiz6 - raiz24
tan(105^circ) = -2 - raiz3

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