Calcule a integral tripla
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral tripla
. Aqui, estamos trabalhando com integração tripla, que envolve integrar uma função sobre uma região tridimensional no espaço. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração definidos pelo conjunto
e aplicar as regras de integração em múltiplas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. A região é definida por três condições:
Isso significa que
varia de 0 a 1, para cada
,
varia de
até
, e para cada par
,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla usando esses limites. A ordem de integração será
,
,
, seguindo os limites que definimos:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. A integral de
em relação a
é
. Então, temos:
Calculando os limites:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Para combinar as frações, encontramos o denominador comum:
Então, após integrar em
, ficamos com
.
Passo 6
Agora, nossa integral ficou reduzida para:
Vamos integrar em relação a
.
Passo 7
A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 8
Agora, nossa integral está reduzida a:
Vamos integrar isso em relação a
.
Passo 9
A integral de
em relação a
é
e a de
é
. Então:
Resposta
A integral tripla vale
.