Calcule a integral tripla integral triplaE y^2-z^2x^2 d V, onde
E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1, y <= z <= raizy, y-z <= x <= y+z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral tripla integral triplaE y^2-z^2x^2 d V. Aqui, estamos trabalhando com integração tripla, que envolve integrar uma função sobre uma região tridimensional no espaço. Para isso, vamos precisar entender bem os limites de integração definidos pelo conjunto E e aplicar as regras de integração em múltiplas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região E onde vamos integrar. A região é definida por três condições:
0 <= y <= 1,
y <= z <= raizy,
y - z <= x <= y + z
Isso significa que y varia de 0 a 1, para cada y, z varia de y até raizy, e para cada par (y, z), x varia de y - z a y + z.

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla usando esses limites. A ordem de integração será dx, dz, dy, seguindo os limites que definimos:
integral triplaE y^2-z^2x^2 , dV = integral0^1 integraly^raizy integraly - z^y + z y^2-z^2x^2 , dx , dz , dy

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a x. A integral de 1x^2 em relação a x é -1x. Então, temos:
integraly - z^y + z y^2-z^2x^2 , dx = (y^2-z^2) [ -1x ]y - z^y + z
Calculando os limites:
= (y^2-z^2) ( -1y + z + 1y - z )

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
= (y^2-z^2) ( 1y - z - 1y + z )
Para combinar as frações, encontramos o denominador comum:
= (y^2-z^2) ( (y + z) - (y - z)(y - z)(y + z) )
= (y^2-z^2) ( 2zy^2 - z^2 )
= 2z
Então, após integrar em x, ficamos com 2z.

Passo 6

Agora, nossa integral ficou reduzida para:
integral0^1 integraly^raizy 2z , dz , dy
Vamos integrar em relação a z.

Passo 7

A integral de 2z em relação a z é z^2. Então:
integraly^raizy 2z , dz = [ z^2 ]y^raizy = (raizy)^2 - y^2 = y - y^2

Passo 8

Agora, nossa integral está reduzida a:
integral0^1 (y - y^2) , dy
Vamos integrar isso em relação a y.

Passo 9

A integral de y em relação a y é y^22 e a de y^2 é y^33. Então:
integral0^1 (y - y^2) , dy = [ y^22 - y^33 ]0^1 = ( 12 - 13 ) - (0 - 0) = 12 - 13 = 16

Resposta

A integral tripla vale 16.

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