A densidade de carga na placa retangular R=[1,9] times[1,4] é dada por f(x, y)=xraizy+yraizx em C/cm². Integre a função para obter a carga total.

Passo 1

Resumo do problema: Temos uma placa retangular R = [1,9] times [1,4] com densidade de carga dada por f(x, y) = xraizy + yraizx em C/cm². Nosso objetivo é integrar essa função sobre a região R para encontrar a carga total.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve cálculo de integrais duplas, especificamente a integração de funções de duas variáveis sobre uma região retangular.
Ferramentas necessárias: Conhecimento de integrais duplas, propriedades de integrais de funções contínuas em retângulos.

Passo 2

Vamos configurar a integral dupla para calcular a carga total. Como a região R é retangular, podemos escrever a integral como:
Q = integralx=1^9 integraly=1^4 ( xraizy + yraizx ) dy , dx
Explicação: Definimos Q como a carga total, que é a integral da densidade de carga f(x,y) sobre a região R . Como R é retangular, os limites de integração para x vão de 1 a 9 e para y de 1 a 4.

Passo 3

Primeiro, vamos integrar em relação a y :
integraly=1^4 ( xraizy + yraizx ) dy = x integral1^4 y^-1/2 dy + 1raizx integral1^4 y , dy
Explicação: Separando a integral em duas partes para facilitar a integração. Isso utiliza a propriedade da linearidade das integrais.

Passo 4

Calculando as integrais separadamente:
Para a primeira parte:
x integral1^4 y^-1/2 dy = x [ 2 y^1/2 ]1^4 = x ( 2 times 2 - 2 times 1 ) = x times 2 = 2x
Explicação: A integral de y^-1/2 é 2 y^1/2 . Avaliamos de 1 a 4.
Para a segunda parte:
1raizx integral1^4 y , dy = 1raizx [ y^22 ]1^4 = 1raizx ( 162 - 12 ) = 1raizx times 152 = 152 raizx
Explicação: A integral de y é y^22 . Avaliamos de 1 a 4 e multiplicamos por 1raizx .

Passo 5

Agora, a integral em relação a x fica:
Q = integral1^9 ( 2x + 152 raizx ) dx
Explicação: Substituímos as integrais encontradas de volta na expressão original, agora com apenas a variável x .

Passo 6

Integrando em relação a x :
Primeira parte:
integral1^9 2x , dx = 2 times x^22 gr|1^9 = x^2 gr|1^9 = 81 - 1 = 80
Explicação: A integral de 2x é x^2 . Avaliamos de 1 a 9.
Segunda parte:
integral1^9 152 raizx , dx = 152 integral1^9 x^-1/2 , dx = 152 [ 2 x^1/2 ]1^9 = 152 times 2 (3 - 1) = 15 times 2 = 30
Explicação: A integral de x^-1/2 é 2 x^1/2 . Multiplicamos pelo coeficiente e avaliamos de 1 a 9.

Resposta

A carga total na placa é Q = 80 + 30 = 110 C.

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