A densidade de carga na placa retangular é dada por em C/cm². Integre a função para obter a carga total.
Passo 1
Resumo do problema: Temos uma placa retangular com densidade de carga dada por em C/cm². Nosso objetivo é integrar essa função sobre a região para encontrar a carga total.
Conteúdo da matéria: Este exercício envolve cálculo de integrais duplas, especificamente a integração de funções de duas variáveis sobre uma região retangular.
Ferramentas necessárias: Conhecimento de integrais duplas, propriedades de integrais de funções contínuas em retângulos.
Passo 2
Vamos configurar a integral dupla para calcular a carga total. Como a região é retangular, podemos escrever a integral como:
Explicação: Definimos como a carga total, que é a integral da densidade de carga sobre a região . Como é retangular, os limites de integração para vão de 1 a 9 e para de 1 a 4.
Passo 3
Primeiro, vamos integrar em relação a :
Explicação: Separando a integral em duas partes para facilitar a integração. Isso utiliza a propriedade da linearidade das integrais.
Passo 4
Calculando as integrais separadamente:
Para a primeira parte:
Explicação: A integral de é . Avaliamos de 1 a 4.
Para a segunda parte:
Explicação: A integral de é . Avaliamos de 1 a 4 e multiplicamos por .
Passo 5
Agora, a integral em relação a fica:
Explicação: Substituímos as integrais encontradas de volta na expressão original, agora com apenas a variável .
Passo 6
Integrando em relação a :
Primeira parte:
Explicação: A integral de 2x é x^2 . Avaliamos de 1 a 9.