Calcular os valores esperados \langle x\rangle e \left\langle x^{2}\right\rangle,\langle p\rangle e \left\langle p^{2}\right\rangle, assim como os desvios padrões \sigma_{x} e \sigma_{p} para o enésimo estado de uma partícula confinada no poço de potencial quadrado infinito de largura a. Calcular também o valor esperado \langle T\rangle, ainda para - enésimo estado \psi_{n}(x).

Passo 1

Temos uma partícula no poço infinito de largura a, com autofunções estacionárias
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\biggl(\frac{n\pi x}{a}\biggr),
definidas em 0\le x\le a. Queremos calcular os valores esperados \langle x\rangle, \langle x^2\rangle, \langle p\rangle, \langle p^2\rangle, os desvios-padrão \sigma_x, \sigma_p, e a energia cinética média \langle T\rangle. Para isso usaremos as definições \langle O\rangle=\int_0^a\psi_n^*(x)\,O\,\psi_n(x)\,dx, \hat p=-i\hbar\,\tfrac{d}{dx} e \langle T\rangle=\langle p^2\rangle/(2m).

Passo 2

Cálculo de \langle x\rangle.
\langle x\rangle =\int_{0}^{a}\psi_n^2(x)\,x\,dx =\frac{2}{a}\int_{0}^{a}x\sin^2\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx =\frac{a}{2}.

Passo 3

Cálculo de \langle x^2\rangle.
\langle x^2\rangle =\frac{2}{a}\int_{0}^{a}x^2\sin^2\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{a}\bigr)\,dx =a^2\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2n^2\pi^2}\Bigr).

Passo 4

Desvio-padrão em x. Primeiro a variância:
\mathrm{Var}(x) =\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2 =a^2\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2n^2\pi^2}\Bigr)-\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^2 =a^2\Bigl(\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{2n^2\pi^2}\Bigr).
Logo
\sigma_x =\sqrt{\mathrm{Var}(x)} =a\sqrt{\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{2n^2\pi^2}}.

Passo 5

Cálculo de \langle p\rangle e \langle p^2\rangle. Como \psi_n(x) é real e de contorno rígido, tem-se
\langle p\rangle =-i\hbar\int_{0}^{a}\psi_n\,\psi_n'\,dx =0.
Para \langle p^2\rangle usamos que \psi_n é autofunção da Hamiltoniana livre no poço:
\langle p^2\rangle =2m\langle T\rangle =2mE_n =2m\frac{\hbar^2n^2\pi^2}{2m a^2} =\frac{\hbar^2n^2\pi^2}{a^2}.

Passo 6

Desvio-padrão em p. Como \langle p\rangle=0,
\sigma_p =\sqrt{\langle p^2\rangle} =\frac{n\pi\hbar}{a}.

Passo 7

Energia cinética média \langle T\rangle.
\langle T\rangle =\frac{\langle p^2\rangle}{2m} =\frac{1}{2m}\,\frac{\hbar^2n^2\pi^2}{a^2} =\frac{\hbar^2n^2\pi^2}{2m a^2}.

Resposta

\displaystyle \langle x\rangle=\frac{a}{2}, \displaystyle \langle x^2\rangle=a^2\Bigl(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2n^2\pi^2}\Bigr), \displaystyle \sigma_x=a\sqrt{\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{2n^2\pi^2}}, \displaystyle \langle p\rangle=0, \displaystyle \langle p^2\rangle=\frac{\hbar^2n^2\pi^2}{a^2}, \displaystyle \sigma_p=\frac{n\pi\hbar}{a}, \displaystyle \langle T\rangle=\frac{\hbar^2n^2\pi^2}{2m a^2}.

Exercícios relacionados