Na Mecânica Clássica, o nível de referência da função energia potencial V(x) é arbitrário. Quais devem ser os efeitos sobre a função de onda \Psi(x, t) e sobre a energia E de cada uma das autofunções \psi(x) se adicionarmos uma constante V_{0} a V(x) na equação de Schrödinger?

Passo 1

O enunciado pergunta o que ocorre com as autofunções espaciais \psi(x), com as energias E e com a função de onda completa \Psi(x,t) quando substituímos
V(x)\;\longrightarrow\;V(x)+V_{0}
na equação de Schrödinger. Vamos usar a forma estacionária e depois a dependência temporal.

Passo 2

Escrevemos primeiro a equação de Schrödinger estacionária original:
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+V(x)\,\psi(x)=E\,\psi(x).
Se V(x) passa a ser V(x)+V_{0}, a equação torna-se
\biggl[-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2}{dx^2}+V(x)+V_{0}\biggr]\psi'(x)=E'\,\psi'(x).

Passo 3

Comparando as duas equações, vemos que basta escolher
\psi'(x)=\psi(x) \quad\text{e}\quad E'=E+V_{0}
para que a nova equação seja satisfeita. Ou seja, as autofunções espaciais não mudam.

Passo 4

Concluímos que cada valor de energia é simplesmente deslocado por V_{0}:
E'\;=\;E+V_{0}.

Passo 5

Na dependência temporal, a solução estacionária original é
\Psi(x,t)=\psi(x)\,e^{-\,\tfrac{i}{\hbar}E\,t}.
Com a energia deslocada, vem
\Psi'(x,t)=\psi(x)\,e^{-\,\tfrac{i}{\hbar}(E+V_{0})\,t} =e^{-\,\tfrac{i}{\hbar}V_{0}\,t}\;\Psi(x,t).
Isso é apenas uma fase global que não altera probabilidades.

Resposta

As autofunções espaciais \psi(x) permanecem inalteradas, cada energia é deslocada para E+V_{0}, e a função de onda completa \Psi(x,t) adquire apenas o fator de fase global \exp(-\,iV_{0}t/\hbar), sem efeitos físicos observáveis.

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