Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
A=[ccc1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = 1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1
e pede os valores próprios (autovalores) e os correspondentes vetores próprios (autovetores).
Para isso, vamos calcular primeiro o polinômio característico
det(A - lambda I)
e depois, para cada raiz lambda, resolver o sistema
(A - lambda I)v = 0

Passo 2

Calculando o polinômio característico por expansão na primeira linha:
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 0 & 0 1 & 1-lambda & -2 0 & 1 & -1-lambda = (1-lambda),det 1-lambda & -2 1 & -1-lambda
Agora o menor de ordem 2:
det 1-lambda & -2 1 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda)-(-2cdot1) =l(lambda^2-1r)+2 =lambda^2+1
Portanto
det(A - lambda I)=(1-lambda),(lambda^2+1)

Passo 3

As raízes do polinômio característico são
1-lambda=0implies lambda=1, lambda^2+1=0implies lambda=pm i
Logo, os autovalores são lambda1=1, lambda2=i e lambda3=-i.

Passo 4

Para , resolvemos :
Das duas equações não triviais vem
com livre. Tomando , um autovetor é

Passo 5

Para , resolvemos :
Da primeira linha .
Da segunda linha

Da terceira linha confere .
Tomando , um autovetor é

Passo 6

Para lambda=-i, o procedimento é análogo:
(A + iI)v=0
x=0 e
(1+i)y -2z=0implies y=dfrac2z1+i=z(1-i),
consistente com a terceira linha. Tomando z=1, obtemos
v3 = 01-i1

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
lambda1=1, v1=221
lambda2=i, v2=01+i1
lambda3=-i, v3=01-i1

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