Seja T in L(P2(R)) definido por T(p(t))=(1-t) p^prime(t). Determine a matriz de T em relação à base canônica de P2(R).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de T:P2(R)toP2(R) dada por
Tl(p(t)r) = (1-t),p'(t)
na base canônica 1,t,t^2.
Para obter essa matriz, basta calcular T em cada vetor da base e escrever os resultados como coordenadas nessa mesma base.

Passo 2

Calcular T(1). Como p(t)=1 implica p'(t)=0, temos
T(1)=(1-t)cdot 0 = 0
Em coordenadas na base 1,t,t^2, isso é o vetor coluna
T(1)mapsto 000

Passo 3

Calcular T(t). Aqui p(t)=t p'(t)=1, então
T(t)=(1-t)cdot 1 = 1 - t
Como 1 - t = 1cdot 1 + (-1)cdot t + 0cdot t^2, a coluna correspondente é
T(t)mapsto 1-10

Passo 4

Calcular T(t^2). Para p(t)=t^2 temos p'(t)=2t, logo
T(t^2)=(1-t)cdot 2t = 2t - 2t^2
Como 2t - 2t^2 = 0cdot1 + 2cdot t + (-2)cdot t^2, a coluna é
T(t^2)mapsto 02-2

Passo 5

Juntando as colunas obtidas para T(1), T(t) e T(t^2), a matriz de T na base 1,t,t^2 é
[T]1,t,t^2 = 0 & 1 & 0 0 & -1 & 2 0 & 0 & -2

Resposta

[T]1,t,t^2 = 0 & 1 & 0 0 & -1 & 2 0 & 0 & -2

Exercícios relacionados