Determine se os seguintes operadores do
são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas:
;
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
definido por
Queremos decidir se
é idempotente (isto é,
) ou nilpotente (isto é, existe
tal que
).
Passo 2
Calculemos
. Para
temos
Logo
é a aplicação identidade em
.
Passo 3
Verifiquemos idempotência. Idempotente significa
Mas acabamos de ver que
, e
(pois
muda o sinal de cada componente). Portanto,
não é idempotente.
Passo 4
Verifiquemos nilpotência. Nilpotente significa que existe
tal que
Como
, nenhuma potência de
é a aplicação zero. Logo,
não é nilpotente.
Resposta
O operador
não é nem idempotente nem nilpotente.