Determine se os seguintes operadores do R^3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas:
T(x, y, z)=(-x,-y,-z);

Passo 1

O enunciado dá o operador linear Tcolon R^3toR^3 definido por
T(x,y,z)=(-x,-y,-z)
Queremos decidir se T é idempotente (isto é, T^2=T) ou nilpotente (isto é, existe k tal que T^k=0).

Passo 2

Calculemos T^2. Para (x,y,z)inR^3 temos
T^2(x,y,z)=Tl(T(x,y,z)r)=T(-x,-y,-z)=(x,y,z)
Logo T^2 é a aplicação identidade em R^3.

Passo 3

Verifiquemos idempotência. Idempotente significa
T^2=T
Mas acabamos de ver que T^2=Id, e Idneq T (pois T muda o sinal de cada componente). Portanto, T não é idempotente.

Passo 4

Verifiquemos nilpotência. Nilpotente significa que existe k>=1 tal que
T^k=0
Como T^k=(-1)^k,Id, nenhuma potência de T é a aplicação zero. Logo, T não é nilpotente.

Resposta

O operador T(x,y,z)=(-x,-y,-z) não é nem idempotente nem nilpotente.

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