Determinar os autovalores e autovetores do operador T do R^4 cuja matriz relação à base canônica é:
A=[cccc 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -2 & 4 ]

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador TcolonR^4toR^4 cuja matriz na base canônica é
A= 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & -2 & 4
Para resolver, primeiro calculamos o polinômio característico de A e, em seguida, para cada autovalor lambda, resolvemos (A - lambda I)v = 0 para obter os autovetores.

Passo 2

Como A é triangular por blocos, temos
chiA(lambda) =det(A-lambda I) =det!2-lambda & 1 0 & 2-lambda ;cdot; det!1-lambda & 1 -2 & 4-lambda
Calculando,
det!2-lambda & 1 0 & 2-lambda =(2-lambda)^2, det!1-lambda & 1 -2 & 4-lambda =(1-lambda)(4-lambda)+2 =lambda^2-5lambda+6 =(lambda-2)(lambda-3)
Logo
chiA(lambda)=(2-lambda)^2(lambda-2)(lambda-3) =-(lambda-2)^3(lambda-3),
e os autovalores são lambda=2 (multiplicidade algébrica 3) e lambda=3 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Para
Portanto são livres, , . O espaço próprio de tem dimensão geométrica e é gerado por

Passo 4

Para
Logo . O espaço próprio de é de dimensão , gerado por

Resposta

Os autovalores são
lambda=2 (mult.\ alg.\ 3, mult.\ geom.\ 2) com espaço próprio
span(1,0,0,0)^T,,(0,0,1,1)^T,
e
lambda=3 (mult.\ alg.\ e geom.\ 1) com espaço próprio
span(0,0,1,2)^T.

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