Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 1 & 2 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1\\\\ 1 & 4 & 1\\\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos usar o polinômio característico \det(A - \lambda I)=0 para achar as raízes \lambda e depois resolver (A - \lambda I)x = 0 para cada \lambda.

Passo 2

Calcular o determinante
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 & 1\\\\ 1 & 4-\lambda & 1\\\\ 1 & 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão e simplificando chega-se a
\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 +10\lambda^2 -28\lambda +24
e multiplicando por -1 obtemos o polinômio característico
\lambda^3 -10\lambda^2 +28\lambda -24 = 0.

Passo 3

Procuramos raízes inteiras testando divisores de 24. Para \lambda=2 temos
2^3 -10\cdot2^2 +28\cdot2 -24 = 8 -40 +56 -24 = 0,
logo \lambda=2 é raiz. Fazendo divisão sintética por (\lambda-2) obtém-se
\lambda^3 -10\lambda^2 +28\lambda -24 = (\lambda-2)^2(\lambda-6).
Assim os autovalores são
\lambda_1 = 6 (multiplicidade algébrica 1) e
\lambda_2 = 2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Para \lambda=6 resolvemos
(A - 6I)x = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 1\\\\ 1 & -2 & 1\\\\ 1 & 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0.
Das equações
-3x+2y+z=0,\quad x-2y+z=0,\quad x+2y-3z=0
vemos que z=y e x=y. Logo um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda=2 resolvemos
(A - 2I)x = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = 0,
que se reduz à única equação x + 2y + z = 0. Dessa forma
x = -2y - z,
e temos dois graus de liberdade ( y e z). Podemos escolher como base do subespaço próprio:
v_2 = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
\lambda_1 = 6, vetor próprio
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
\lambda_2 = 2 (multiplicidade 2), base do espaço próprio
v_2 = \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

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