Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
Passo 1
O enunciado pede os valores próprios (autovalores) e os vetores próprios (autovetores) da matriz
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos usar o polinômio característico
para achar as raízes
e depois resolver
para cada
.
Passo 2
Calcular o determinante
Fazendo a expansão e simplificando chega-se a
e multiplicando por
obtemos o polinômio característico
Passo 3
Procuramos raízes inteiras testando divisores de
. Para
temos
logo
é raiz. Fazendo divisão sintética por
obtém-se
Assim os autovalores são
(multiplicidade algébrica 1) e
(multiplicidade algébrica 2).
Passo 4
Para
resolvemos
Das equações
vemos que
e
. Logo um autovetor correspondente é
Passo 5
Para
resolvemos
que se reduz à única equação
. Dessa forma
e temos dois graus de liberdade (
e
). Podemos escolher como base do subespaço próprio:
Resposta
Os autovalores e autovetores de
são: