Verificar se a matriz A édiagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P^{-1} A P :
A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\\\ 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\\\ 0 & 1 & -4\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}
é diagonalizável, e caso seja, determinar uma matriz P que a diagonalize e calcular P^{-1}AP. O conteúdo envolve autovalores, autovetores e a condição de diagonalizabilidade de uma matriz: ela é diagonalizável se existir um conjunto de n autovetores linearmente independentes (para uma matriz n\times n).

Passo 2

Como A é triangular superior, seus autovalores são os elementos da diagonal principal. Logo,
\lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 1,\quad \lambda_3 = 3.
São três autovalores distintos, o que garante que existem três autovetores linearmente independentes e, portanto, A é diagonalizável.

Passo 3

Encontrar um autovetor para \lambda_1=2. Resolvemos
(A - 2I)x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 0 & 3 & -1\\\\ 0 & -1 & -4\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da terceira linha vem x_3=0. Da segunda, -x_2-4\cdot0=0\implies x_2=0. O primeiro dá 3x_2 - x_3=0, já satisfeito. Fica x_1 livre. Tomando x_1=1, um autovetor é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 4

Autovetor para \lambda_2=1. Resolvemos
(A - I)x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 0 & 0 & -4\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = 0.
Da segunda linha vem x_3=0. A primeira impõe x_1 + 3x_2 = 0\implies x_1=-3x_2. Tomando x_2=1, obtemos
v_2 = \begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Autovetor para \lambda_3=3. Resolvemos
(A - 3I)x = 0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1\\\\ 0 & -2 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} = 0.
Da segunda linha -2x_2 -4x_3=0\implies x_2=-2x_3. A primeira dá -x_1+3x_2 - x_3=0\implies x_1 = -7x_3. Tomando x_3=1, obtemos
v_3 = \begin{pmatrix}-7\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Formamos P cujas colunas são os autovetores v_1,v_2,v_3:
P = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -7\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Como comentado, a partir de autovalores distintos temos três autovetores independentes, confirmando a diagonalizabilidade de A.

Passo 7

Calculamos P^{-1}. Observando que P é triangular superior com diagonal de 1's, usa-se a fórmula padrão para inversa de matriz unipotente:
P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 13\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 8

Finalmente,
P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 13\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1\\\\ 0 & 1 & -4\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -7\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

A é diagonalizável.
Uma matriz que a diagonaliza é
P = \begin{pmatrix} 1 & -3 & -7\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
com inversa
P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 13\\\\ 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
e
P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

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