Encontrar três matrizes semelhantes à matriz:
\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ -1 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar três matrizes B que sejam semelhantes à matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt] -1 & 2\end{pmatrix},
ou seja, matrizes da forma
B = P^{-1} A\,P
para três escolhas diferentes de matriz invertível P. Vamos escolher três matrizes P simples e calcular P^{-1}AP em cada caso.]

Passo 2

Escolha
P_1 = \begin{pmatrix}0 & 1\\[3pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Note que \det P_1 = -1\neq0, logo P_1 é invertível e P_1^{-1}=P_1. Calculamos
A\,P_1 =\begin{pmatrix}1&1\\\\ -1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&1\\\\ 1&0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\\[3pt]2&-1\end{pmatrix},
e então
B_1 = P_1^{-1}A\,P_1 =P_1\,(A\,P_1) =\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1\\\ 2&-1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&-1\\\ 1&1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Escolha
P_2 = \begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix},
com \det P_2 =1, logo P_2^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix}. Então
A\,P_2 =\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&0\\\ 1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix},
e
B_2 = P_2^{-1}A\,P_2 =\begin{pmatrix}1&0\\\ -1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\\ 1&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&1\\[3pt]-1&1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Escolha
P_3 = \begin{pmatrix}2 & 1\\[3pt]3 & 1\end{pmatrix},
com \det P_3 =2\cdot1-3\cdot1=-1, logo
P_3^{-1} = \frac1{-1}\begin{pmatrix}1 & -1\\[3pt]-3 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&1\\[3pt]3&-2\end{pmatrix}.
Calculamos
A\,P_3 =\begin{pmatrix}1&1\\\ -1&2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&1\\\ 3&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5&2\\\ 4&1\end{pmatrix},
e então
B_3 = P_3^{-1}A\,P_3 =\begin{pmatrix}-1&1\\\ 3&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5&2\\\ 4&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&-1\\\ 7&4\end{pmatrix}.]

Resposta

Três matrizes similares a A são
\begin{pmatrix}2 & -1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}2 & 1\\[3pt]-1 & 1\end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix}-1 & -1\\[3pt]7 & 4\end{pmatrix}.]

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