Verificar se a matriz A édiagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P^{-1} A P :
A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 3\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}
é diagonalizável, isto é, se existe uma base de \mathbb{R}^3 formada por autovetores de A. O conteúdo necessário envolve cálculo de polinômio característico, autovalores, autovetores e checagem das multiplicidades geométrica e algébrica.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\chi_A(\lambda)=\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & -2 & -2\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} =(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)(3-\lambda)\bigr) =(1-\lambda)^2(3-\lambda).
Logo os autovalores são \lambda_1=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda_2=3 (multiplicidade algébrica 1).

Passo 3

Para \lambda=1 resolvemos (A-I)x=0, i.e.
\begin{pmatrix} 0 & -2 & -2\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad x_2 + x_3 = 0.
Temos duas variáveis livres ( x_1 e x_3), logo a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é 2, igual à algébrica. Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0, i.e.
\begin{pmatrix} -2 & -2 & -2\\\\ 0 & -2 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}x=0 \quad\Longrightarrow\quad x_2=0,\;x_1 + x_3=0,
que dá multiplicidade geométrica 1, igual à algébrica. Como em cada caso a dimensão do subespaço próprio bate com a multiplicidade algébrica, A é diagonalizável.

Passo 4

Escolhemos vetores independentes de cada autovalor:
Para \lambda=1, tomamos
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=3, tomamos
v_3 = \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Formamos a matriz P cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Então a diagonalização é
P^{-1}AP =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

Resposta

Poderíamos escolher
P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix},
e assim
P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.

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