Quais dos seguintes operadores são ortogonais?
a) T: I R^{2} \rightarrow I R^{2}, T(x, y)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} x-\frac{1}{\sqrt{2}} y, \frac{1}{\sqrt{2}} x+\frac{1}{\sqrt{2}} y\right)
b) T: I R^{2} \rightarrow I R^{2}, T(x, y)=(-y,-x)
c) T: I R^{2} \rightarrow I R^{2}, T(x, y)=(x+y, x-y)

Passo 1

O enunciado dá três operadores lineares T_a,T_b,T_c:\mathbb R^2\to\mathbb R^2 e pede para verificar quais são ortogonais.
Conteúdo: operador ortogonal em \mathbb R^2 preserva produto interno, ou seja, sua matriz A satisfaz
A^T A = I.

Passo 2

Vamos escrever as matrizes relativas à base canônica \{e_1,e_2\}:
– Para T_a(x,y)=\bigl(\tfrac1{\sqrt2}x-\tfrac1{\sqrt2}y,\\ \tfrac1{\sqrt2}x+\tfrac1{\sqrt2}y\bigr),
A = \begin{pmatrix} \tfrac1{\sqrt2} & -\tfrac1{\sqrt2}\\[6pt] \tfrac1{\sqrt2} & \tfrac1{\sqrt2} \end{pmatrix}.
– Para T_b(x,y)=(-y,-x),
B = \begin{pmatrix} 0 & -1\\[3pt] -1 & 0 \end{pmatrix}.
– Para T_c(x,y)=(x+y,\;x-y),
C = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[3pt] 1 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Verificação de T_a:
A^T A = \begin{pmatrix} \tfrac1{\sqrt2} & \tfrac1{\sqrt2}\\[3pt] -\tfrac1{\sqrt2} & \tfrac1{\sqrt2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac1{\sqrt2} & -\tfrac1{\sqrt2}\\[3pt] \tfrac1{\sqrt2} & \tfrac1{\sqrt2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.
Logo T_a é ortogonal.]

Passo 4

Verificação de T_b:
B^T B = \begin{pmatrix} 0 & -1\\[3pt] -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\[3pt] -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.
Logo T_b é ortogonal (é reflexão com \det=-1).]

Passo 5

Verificação de T_c:
C^T C = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[3pt] 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[3pt] 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\\\ 0 & 2 \end{pmatrix} =2I\neq I.
Logo T_c não é ortogonal (escala vetores por \sqrt2).]

Resposta

Os operadores ortogonais são (a) e (b); o operador (c) não é ortogonal.

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