Calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das seguintes matrizes:
A= [ll2 & 1 3 & 4]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & 13 & 4
e pede seus valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores). O conteúdo que vamos usar é: 1) montar a equação característica det(A - lambda I)=0 para encontrar os autovalores lambda, e 2) para cada lambda resolver (A - lambda I)v=0 para obter o vetor próprio v.

Passo 2

Vamos calcular a equação característica. Primeiro escrevemos
A - lambda I = 2-lambda & 13 & 4-lambda
e então seu determinante:
det(A - lambda I) = (2-lambda)(4-lambda) - 3cdot1 = lambda^2 -6lambda +5
A equação característica é
lambda^2 -6lambda +5 = 0
Resolvendo-a: o discriminante é De<a = (-6)^2 -4cdot1cdot5 =36 -20 =16, logo
lambda = 6 pm raiz162 = 6pm42,
o que dá os autovalores
lambda1 =5, lambda2 =1

Passo 3

Para lambda1 =5, montamos
A - 5I = 2-5 & 13 & 4-5 = -3 & 13 & -1
Resolvendo (A-5I)v=0, se v=(x,y)^T, a primeira linha dá
-3x + y = 0implies y = 3x
Logo um vetor próprio é
v1 = 13
(qualquer múltiplo escalar não nulo de 13 serve).

Passo 4

Para lambda2 =1, temos
A - 1I = 2-1 & 13 & 4-1 = 1 & 13 & 3
Da primeira linha, x + y = 0implies y = -x
Um vetor próprio é
v2 = 1-1

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são:
lambda1 = 5 com vetor próprio v1 = (1,3)^T,
lambda2 = 1 com vetor próprio v2 = (1,-1)^T.

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