Calcular a velocidade quadrática média de uma molécula de oxigênio a 300 K e 500 K . Apresente uma relação entre a velocidade quadrática média do oxigênio e a velocidade quadrática média do hidrogênio. O que se conclui?
Passo 1
O enunciado pede: calcular a velocidade quadrática média (velocidade RMS) de uma molécula de oxigênio nas temperaturas
e
; apresentar uma relação entre a velocidade quadrática média do oxigênio e a do hidrogênio; e tirar a conclusão. Informações relevantes que temos (algumas são propriedades padrão que eu estou usando):
- Temperaturas:
e . - Moléculas: oxigênio diatômico
e hidrogênio diatômico . - Massas molares (valores padrão):
e . - Constante universal dos gases:
.
Estas são as informações que vou usar para resolver.
Passo 2
Explicar o conceito e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo, sem pular nada). A velocidade quadrática média (também chamada de velocidade RMS, do inglês root-mean-square) de moléculas num gás ideal relaciona-se com a energia cinética média translacional por molécula. A ideia básica é:
- A energia cinética média por molécula, devido ao movimento translacional em três dimensões, vale
onde
é a constante de Boltzmann e
a temperatura (em kelvin). Aqui
tem unidades de joules por molécula.
- A energia cinética média também pode ser escrita em termos da massa de uma molécula
e da velocidade quadrática média :
- Igualando as duas expressões e isolando
obtém-se a fórmula fundamental
Explicando variáveis:
é a constante de Boltzmann (
),
é a temperatura em kelvin,
é a massa de UMA molécula (em kg), e
tem unidade m/s.
Passo 3
Converter a fórmula para usar massas molares (mais prático sem precisar usar
diretamente). Como a massa de uma molécula
é a massa molar
dividida pelo número de Avogadro
, e como
, podemos reescrever:
Substituindo em
e simplificando
dá a forma prática usada em provas:
onde
é a massa molar em
,
é a constante dos gases, e
em kelvin. Isso evita trabalhar com massas de molécula muito pequenas e com
e
separadamente.
Passo 4
Aplicar a fórmula para
em
. Usando
com
,
e
, calculamos passo a passo:
- Primeiro calcule
:
- Divida por
:
- Agora a raiz quadrada:
Interpretação rápida: isso significa que a velocidade típica (RMS) de uma molécula de oxigênio a
é cerca de
.
Passo 5
Fazer o mesmo para
em
. Repetindo:
-
-
- Raiz quadrada:
Conclusão: aumentando a temperatura de
para
a velocidade RMS aumenta, e o aumento segue a raiz quadrada da temperatura (pois
).
Passo 6
Agora a relação entre
e
. Pelas mesmas fórmulas, para a mesma temperatura
temos
Logo a razão entre as velocidades RMS de
e
(na mesma
) é
Substituindo massas molares em kg/mol:
Portanto
Isto significa que, à mesma temperatura, uma molécula de hidrogênio tem velocidade RMS quatro vezes maior que uma molécula de oxigênio.
Passo 7
Verificação numérica rápida (opcional, só para confirmar): usando o fator 4, se
, então
o que bate com o cálculo direto pela fórmula (pode-se verificar substituindo
).
Passo 8
Conclusão final e interpretação física (resumida, motivadora): moléculas mais leves têm velocidades RMS maiores à mesma temperatura porque a energia térmica média por partícula é a mesma para todas as espécies (depende só de
), e portanto massas menores resultam em velocidades maiores para manter a mesma energia cinética média. Em particular,
é muito mais leve que
, por isso suas moléculas se movem, em média, cerca de 4 vezes mais rápido (RMS) que as moléculas de oxigênio na mesma temperatura. Isso explica, por exemplo, por que gases leves difundem/escapam mais rápido que gases pesados.