Calcular a velocidade quadrática média de uma molécula de oxigênio a 300 K e 500 K . Apresente uma relação entre a velocidade quadrática média do oxigênio e a velocidade quadrática média do hidrogênio. O que se conclui?

Passo 1

O enunciado pede: calcular a velocidade quadrática média (velocidade RMS) de uma molécula de oxigênio nas temperaturas \,300\\ \text{K}\, e \,500\\ \text{K}\,; apresentar uma relação entre a velocidade quadrática média do oxigênio e a do hidrogênio; e tirar a conclusão. Informações relevantes que temos (algumas são propriedades padrão que eu estou usando):
  • Temperaturas: \,T_1=300\\ \text{K}\, e \,T_2=500\\ \text{K}\,.
  • Moléculas: oxigênio diatômico \,{\rm O_2}\, e hidrogênio diatômico \,{\rm H_2}\,.
  • Massas molares (valores padrão): \,M_{{\rm O_2}}=32{,}0\\ \text{g/mol}=0{,}032\\ \text{kg/mol}\, e \,M_{{\rm H_2}}=2{,}0\\ \text{g/mol}=0{,}002\\ \text{kg/mol}\,.
  • Constante universal dos gases: \,R=8{,}314\\ \text{J/(mol·K)}\,.
    Estas são as informações que vou usar para resolver.

Passo 2

Explicar o conceito e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo, sem pular nada). A velocidade quadrática média (também chamada de velocidade RMS, do inglês root-mean-square) de moléculas num gás ideal relaciona-se com a energia cinética média translacional por molécula. A ideia básica é:
  • A energia cinética média por molécula, devido ao movimento translacional em três dimensões, vale
\left\langle E_{\text{cin}}\right\rangle = \tfrac{3}{2}k_B T,
onde k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura (em kelvin). Aqui \left\langle E_{\text{cin}}\right\rangle tem unidades de joules por molécula.
  • A energia cinética média também pode ser escrita em termos da massa de uma molécula m e da velocidade quadrática média \,v_{\text{rms}}\,:
\left\langle E_{\text{cin}}\right\rangle = \tfrac{1}{2} m\, v_{\text{rms}}^{2}.
  • Igualando as duas expressões e isolando v_{\text{rms}} obtém-se a fórmula fundamental
v_{\text{rms}} = \sqrt{\dfrac{3 k_B T}{m}}.
Explicando variáveis: k_B é a constante de Boltzmann ( 1{,}380649\times 10^{-23}\\ \text{J/K}), T é a temperatura em kelvin, m é a massa de UMA molécula (em kg), e v_{\text{rms}} tem unidade m/s.

Passo 3

Converter a fórmula para usar massas molares (mais prático sem precisar usar N_A diretamente). Como a massa de uma molécula m é a massa molar M dividida pelo número de Avogadro N_A, e como R=N_A k_B, podemos reescrever:
m=\dfrac{M}{N_A}\quad\text{e}\quad k_B=\dfrac{R}{N_A}.
Substituindo em v_{\text{rms}}=\sqrt{3k_BT/m} e simplificando N_A dá a forma prática usada em provas:
v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}},
onde M é a massa molar em \text{kg/mol}, R é a constante dos gases, e T em kelvin. Isso evita trabalhar com massas de molécula muito pequenas e com k_B e N_A separadamente.

Passo 4

Aplicar a fórmula para {\rm O_2} em \,T=300\\ \text{K}\,. Usando
v_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}},
com \,R=8{,}314\\ \text{J/(mol·K)}, \,T=300\\ \text{K} e \,M_{{\rm O_2}}=0{,}032\\ \text{kg/mol}, calculamos passo a passo:
  • Primeiro calcule 3RT:
3RT = 3 \times 8{,}314 \times 300 = 3 \times 2494{,}2 = 7482{,}6\\ \text{J/mol}.
  • Divida por M:
\dfrac{3RT}{M_{{\rm O_2}}} = \dfrac{7482{,}6}{0{,}032} = 233206{,}25\\ \text{(m}^2\!/\text{s}^2).
  • Agora a raiz quadrada:
v_{\text{rms}}({\rm O_2},300\\ \text{K}) = \sqrt{233206{,}25}\approx 483{,}0\\ \text{m/s}.
Interpretação rápida: isso significa que a velocidade típica (RMS) de uma molécula de oxigênio a 300\\ \text{K} é cerca de 483\\ \text{m/s}.

Passo 5

Fazer o mesmo para {\rm O_2} em \,T=500\\ \text{K}. Repetindo:
  • 3RT = 3 \times 8{,}314 \times 500 = 3 \times 4157 = 12471\\ \text{J/mol}.
  • \dfrac{3RT}{M_{{\rm O_2}}} = \dfrac{12471}{0{,}032} = 389093{,}75\\ \text{(m}^2\!/\text{s}^2).
  • Raiz quadrada:
v_{\text{rms}}({\rm O_2},500\\ \text{K}) = \sqrt{389093{,}75}\approx 624{,}0\\ \text{m/s}.
Conclusão: aumentando a temperatura de 300\\ \text{K} para 500\\ \text{K} a velocidade RMS aumenta, e o aumento segue a raiz quadrada da temperatura (pois v_{\text{rms}}\propto\sqrt{T}).

Passo 6

Agora a relação entre {\rm O_2} e {\rm H_2}. Pelas mesmas fórmulas, para a mesma temperatura T temos
v_{\text{rms}} \propto \dfrac{1}{\sqrt{M}}.
Logo a razão entre as velocidades RMS de {\rm O_2} e {\rm H_2} (na mesma T) é
\dfrac{v_{\text{rms}}({\rm O_2})}{v_{\text{rms}}({\rm H_2})} = \sqrt{\dfrac{M_{{\rm H_2}}}{M_{{\rm O_2}}}}.
Substituindo massas molares em kg/mol:
\sqrt{\dfrac{0{,}002}{0{,}032}} = \sqrt{\dfrac{1}{16}} = \dfrac{1}{4}.
Portanto
v_{\text{rms}}({\rm O_2}) = \dfrac{1}{4}\,v_{\text{rms}}({\rm H_2})\quad\text{(à mesma temperatura)}.à
Isto significa que, à mesma temperatura, uma molécula de hidrogênio tem velocidade RMS quatro vezes maior que uma molécula de oxigênio.

Passo 7

Verificação numérica rápida (opcional, só para confirmar): usando o fator 4, se v_{\text{rms}}({\rm O_2},300\\ \text{K})\approx 483{,}0\\ \text{m/s}, então
v_{\text{rms}}({\rm H_2},300\\ \text{K}) \approx 4\times 483{,}0 = 1932{,}0\\ \text{m/s},
o que bate com o cálculo direto pela fórmula (pode-se verificar substituindo M_{{\rm H_2}}=0{,}002\\ \text{kg/mol}).

Passo 8

Conclusão final e interpretação física (resumida, motivadora): moléculas mais leves têm velocidades RMS maiores à mesma temperatura porque a energia térmica média por partícula é a mesma para todas as espécies (depende só de T), e portanto massas menores resultam em velocidades maiores para manter a mesma energia cinética média. Em particular, {\rm H_2} é muito mais leve que {\rm O_2}, por isso suas moléculas se movem, em média, cerca de 4 vezes mais rápido (RMS) que as moléculas de oxigênio na mesma temperatura. Isso explica, por exemplo, por que gases leves difundem/escapam mais rápido que gases pesados.

Resposta

v_{\text{rms}}({\rm O_2},300\\ \text{K})\approx 483{,}0\\ \text{m/s}
v_{\text{rms}}({\rm O_2},500\\ \text{K})\approx 624{,}0\\ \text{m/s}
v_{\text{rms}}({\rm O_2})=\dfrac{1}{4}\,v_{\text{rms}}({\rm H_2}) (à mesma temperatura)

Exercícios relacionados