integral x sen(5 x) d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral indefinida integral xsin(5x),dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, e vamos precisar da fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos as partes da seguinte forma: u = x e dv = sin(5x),dx. Então du = dx e precisamos achar v = integral sin(5x),dx.

Passo 3

Para calcular v usamos a antiderivada de sin(5x):
v = integral sin(5x),dx = -tfrac15cos(5x)
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral xsin(5x),dx = u,v - integral v,du = xcdotl(-tfrac15cos(5x)r) - integral l(-tfrac15cos(5x)r),dx
Simplificando, obtemos

Passo 4

Agora só falta calcular integral cos(5x),dx. Como sabemos que a derivada de sin(5x) é 5cos(5x), a antiderivada de cos(5x) é:
integral cos(5x),dx = tfrac15sin(5x)

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão anterior, ficamos com:
integral xsin(5x),dx = -tfracx5cos(5x) + tfrac15cdottfrac15sin(5x) + C = -tfracx5cos(5x) + tfrac125sin(5x) + C

Resposta

-\tfrac{x}{5}\cos(5x) + \tfrac{1}{25}\sin(5x) + C

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