Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional:
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o volume do conjunto
Informações fornecidas e o que será usado:
- Duas desigualdades envolvendo
e : e . - A coordenada
está limitada por . - Precisa-se do volume do domínio tridimensional
.
Passo 2
Interpretar as desigualdades em termos de
. A segunda desigualdade pode ser rearranjada para isolar
:
A primeira desigualdade já dá uma expressão para uma cota inferior de
:
Logo, para um dado
o
deve satisfazer
Para que esse intervalo em
exista precisamos que a cota inferior seja menor ou igual à cota superior. Ou seja:
Passo 3
Resolver a condição para
obtida acima:
Multiplicando ambos os lados por
:
Reagrupando termos:
Dividindo por
:
Portanto o intervalo de
é
Resumo do domínio projetado no plano
: para
,
varia de
até
. E para
temos a faixa vertical
.
Passo 4
Armar a integral tripla para o volume. O volume de
é
Pela descrição de
em termos de
(ordem
),
Executando a integral interna em
:
Logo
Passo 5
Calcular a integral em
. A integral em
de
entre os limites dados é
vezes a largura do intervalo em
:
Simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Multiplicando por
:
Assim a integral em
fica
Passo 6
Calcular a integral em
. Podemos separar:
Calcular cada termo:
Portanto