Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional:
V=\left\{(x, y, z): x^{2} \leq y \wedge x^{2} \leq 4-3 y \wedge 0 \leq z \leq 9\right\}.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o volume do conjunto
V=\{(x,y,z): x^{2}\le y \wedge x^{2}\le 4-3y \wedge 0\le z\le 9\}.
Informações fornecidas e o que será usado:
  • Duas desigualdades envolvendo x e y: x^{2}\le y e x^{2}\le 4-3y.
  • A coordenada z está limitada por 0\le z\le 9.
  • Precisa-se do volume do domínio tridimensional V.

Passo 2

Interpretar as desigualdades em termos de y. A segunda desigualdade pode ser rearranjada para isolar y:
x^{2}\le 4-3y \quad\Longleftrightarrow\quad 3y \le 4 - x^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad y \le \frac{4 - x^{2}}{3}.
A primeira desigualdade já dá uma expressão para uma cota inferior de y:
y \ge x^{2}.
Logo, para um dado x o y deve satisfazer
x^{2}\le y \le \frac{4 - x^{2}}{3}.
Para que esse intervalo em y exista precisamos que a cota inferior seja menor ou igual à cota superior. Ou seja:
x^{2} \le \frac{4 - x^{2}}{3}.

Passo 3

Resolver a condição para x obtida acima:
x^{2} \le \frac{4 - x^{2}}{3}
Multiplicando ambos os lados por 3:
3x^{2} \le 4 - x^{2}
Reagrupando termos:
4x^{2} \le 4
Dividindo por 4:
x^{2} \le 1
Portanto o intervalo de x é
-1 \le x \le 1.
Resumo do domínio projetado no plano xy: para x\in[-1,1], y varia de y=x^{2} até y=(4-x^{2})/3. E para z temos a faixa vertical 0\le z\le 9.

Passo 4

Armar a integral tripla para o volume. O volume de V é
\text{Vol}(V)=\iiint_{V} 1\,dV.
Pela descrição de V em termos de x,y,z (ordem dz\,dy\,dx),
\text{Vol}(V)=\int_{x=-1}^{1}\int_{y=x^{2}}^{(4-x^{2})/3}\int_{z=0}^{9} 1\,dz\,dy\,dx.
Executando a integral interna em z:
\int_{z=0}^{9} 1\,dz = 9.
Logo
\text{Vol}(V)=\int_{-1}^{1}\int_{x^{2}}^{(4-x^{2})/3} 9\,dy\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em y. A integral em y de 9 entre os limites dados é 9 vezes a largura do intervalo em y:
\int_{y=x^{2}}^{(4-x^{2})/3} 9\,dy = 9\left(\frac{4-x^{2}}{3}-x^{2}\right).
Simplificar a expressão dentro dos parênteses:
\frac{4-x^{2}}{3}-x^{2}=\frac{4-x^{2}-3x^{2}}{3}=\frac{4-4x^{2}}{3}=\frac{4(1-x^{2})}{3}.
Multiplicando por 9:
9\cdot\frac{4(1-x^{2})}{3}=3\cdot 4(1-x^{2})=12(1-x^{2}).
Assim a integral em x fica
\text{Vol}(V)=\int_{-1}^{1} 12(1-x^{2})\,dx.

Passo 6

Calcular a integral em x. Podemos separar:
\int_{-1}^{1} 12(1-x^{2})\,dx = 12\left(\int_{-1}^{1} 1\,dx - \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx\right).
Calcular cada termo:
\int_{-1}^{1} 1\,dx = 2,
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
Portanto
\int_{-1}^{1} 12(1-x^{2})\,dx = 12\left(2-\frac{2}{3}\right)=12\cdot\frac{4}{3}=16.

Resposta

\,16\,

Exercícios relacionados