Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional: V=\left\{(x, y, z):-1 \leq x \leq 2 \wedge y^{2}+2 \leq z \leq 4-y^{2}\right\}.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
V=\{(x,y,z)\mid -1 \le x \le 2 \wedge y^{2}+2 \le z \le 4-y^{2}\}
As perguntas implícitas são:
Calcular o volume do conjunto V.
Informações relevantes fornecidas:
A coordenada x varia entre -1 e 2.
A coordenada z está entre as superfícies z=y^{2}+2 (inferior) e z=4-y^{2} (superior).
Não foi dada explicitamente a faixa de y; precisa ser determinada a partir da condição de existência de pontos (isto é, onde a desigualdade do limite inferior para o limite superior faz sentido).
Passo 2
Ideia de resolução (sem resolver ainda): o volume de um conjunto tridimensional pode ser calculado por integral tripla do elemento de volume dV. Aqui as fronteiras em z são dadas por funções de y somente e a variável x é independente das outras; portanto podemos usar a ordem de integração dz\,dy\,dx e aplicar o Teorema de Fubini para escrever o volume como uma integral iterada.
Breve explicação do conceito usado (Fubini e integrais iteradas):
O volume de V é
\text{Vol}(V)=\iiint_{V} dV.
Se as projeções e as funções de contorno forem apropriadas (como é o caso aqui), podemos calcular isso por integrais iteradas escolhendo uma ordem conveniente. Aqui é natural integrar primeiro em z entre as superfícies dadas, depois em y e finalmente em x.
Passo 3
Determinar a faixa de y. Para que haja pontos com um dado y é necessário que o limite inferior em z seja menor ou igual ao limite superior em z. Então impomos
Explicação do porquê: para cada par (x,y) com -1\le x\le 2 e -1\le y\le 1 o comprimento em z é a diferença entre a superfície de cima 4-y^{2} e a de baixo y^{2}+2; somando (integrando) esses comprimentos sobre toda a região em (x,y) obtemos o volume.
Passo 5
Calcular a integral mais interna (em z). Como é uma integral de uma função constante em relação a z (o integrando é 1), temos:
Portanto a integral sobre y resulta em \dfrac{8}{3}. Isso significa que, para cada x fixo, a “área” no plano y\!z (ou o comprimento total em z integrado em y) é \dfrac{8}{3}.
Passo 7
Finalmente integrar em x. A expressão obtida para a integral dupla em (y,z) não depende de x, então
Resumo rápido do raciocínio (para lembrar na prova):
Projetar o domínio nas coordenadas independentes (aqui (x,y)); encontrar a faixa de y impondo que o teto em z seja ≥ piso em z.
Expressar o volume como integral iterada \int\int\int dz\,dy\,dx.
Integrar em z para obter a diferença das superfícies; depois integrar em y e por fim em x.
Boa! Esse tipo de exercício é sempre padrão: olha-se a dependência das variáveis, projeta-se a região e integra-se na ordem conveniente. Confia que você consegue fazer isso na prova também — um passo de cada vez!