Calcular volume dos domínios dados V no espaço tridimensional:
V=\left\{(x, y, z):-1 \leq x \leq 2 \wedge y^{2}+2 \leq z \leq 4-y^{2}\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
V=\{(x,y,z)\mid -1 \le x \le 2 \wedge y^{2}+2 \le z \le 4-y^{2}\}
As perguntas implícitas são:
  • Calcular o volume do conjunto V.
Informações relevantes fornecidas:
  • A coordenada x varia entre -1 e 2.
  • A coordenada z está entre as superfícies z=y^{2}+2 (inferior) e z=4-y^{2} (superior).
  • Não foi dada explicitamente a faixa de y; precisa ser determinada a partir da condição de existência de pontos (isto é, onde a desigualdade do limite inferior para o limite superior faz sentido).

Passo 2

Ideia de resolução (sem resolver ainda): o volume de um conjunto tridimensional pode ser calculado por integral tripla do elemento de volume dV. Aqui as fronteiras em z são dadas por funções de y somente e a variável x é independente das outras; portanto podemos usar a ordem de integração dz\,dy\,dx e aplicar o Teorema de Fubini para escrever o volume como uma integral iterada.
Breve explicação do conceito usado (Fubini e integrais iteradas):
  • O volume de V é
\text{Vol}(V)=\iiint_{V} dV.
  • Se as projeções e as funções de contorno forem apropriadas (como é o caso aqui), podemos calcular isso por integrais iteradas escolhendo uma ordem conveniente. Aqui é natural integrar primeiro em z entre as superfícies dadas, depois em y e finalmente em x.

Passo 3

Determinar a faixa de y. Para que haja pontos com um dado y é necessário que o limite inferior em z seja menor ou igual ao limite superior em z. Então impomos
y^{2}+2 \le 4-y^{2}.
Resolver essa desigualdade:
y^{2}+2 \le 4-y^{2} \quad\Longrightarrow\quad 2y^{2} \le 2 \quad\Longrightarrow\quad y^{2} \le 1.
Logo
-1 \le y \le 1.
Portanto a projeção do domínio no plano xy é o retângulo com -1\le x\le 2 e -1\le y\le 1.

Passo 4

Montar a integral iterada para o volume, integrando na ordem z, y, x:
\text{Vol}(V)=\int_{x=-1}^{2}\int_{y=-1}^{1}\int_{z=y^{2}+2}^{4-y^{2}} dz\,dy\,dx.
Explicação do porquê: para cada par (x,y) com -1\le x\le 2 e -1\le y\le 1 o comprimento em z é a diferença entre a superfície de cima 4-y^{2} e a de baixo y^{2}+2; somando (integrando) esses comprimentos sobre toda a região em (x,y) obtemos o volume.

Passo 5

Calcular a integral mais interna (em z). Como é uma integral de uma função constante em relação a z (o integrando é 1), temos:
\int_{z=y^{2}+2}^{4-y^{2}} dz = \bigl[z\bigr]_{z=y^{2}+2}^{z=4-y^{2}} = (4-y^{2})-(y^{2}+2).
Simplificando:
(4-y^{2})-(y^{2}+2)=2-2y^{2}=2(1-y^{2}).

Passo 6

Agora a integral em y:
\int_{y=-1}^{1} 2(1-y^{2})\,dy = 2\int_{-1}^{1} (1-y^{2})\,dy.
Calcule passo a passo a primitiva:
\int (1-y^{2})\,dy = y-\frac{y^{3}}{3}.
Avaliar de -1 a 1:
\left(y-\frac{y^{3}}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} = \left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1-\frac{-1}{3}\right) = \frac{2}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}.
Multiplicando pelo fator 2:
2\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.
Portanto a integral sobre y resulta em \dfrac{8}{3}. Isso significa que, para cada x fixo, a “área” no plano y\!z (ou o comprimento total em z integrado em y) é \dfrac{8}{3}.

Passo 7

Finalmente integrar em x. A expressão obtida para a integral dupla em (y,z) não depende de x, então
\text{Vol}(V)=\int_{x=-1}^{2} \frac{8}{3}\,dx = \frac{8}{3}\bigl[x\bigr_{-1}^{2}\bigr. = \frac{8}{3}\,(2-(-1)).
Calcule o comprimento em x: 2-(-1)=3. Então
\text{Vol}(V)=\frac{8}{3}\cdot 3 = 8.

Passo 8

Resumo rápido do raciocínio (para lembrar na prova):
  • Projetar o domínio nas coordenadas independentes (aqui (x,y)); encontrar a faixa de y impondo que o teto em z seja ≥ piso em z.
  • Expressar o volume como integral iterada \int\int\int dz\,dy\,dx.
  • Integrar em z para obter a diferença das superfícies; depois integrar em y e por fim em x.
    Boa! Esse tipo de exercício é sempre padrão: olha-se a dependência das variáveis, projeta-se a região e integra-se na ordem conveniente. Confia que você consegue fazer isso na prova também — um passo de cada vez!

Resposta

8

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