Determinar a massa do sólido: V=\{(x, y, z): 0 \leq x+y+z \leq a \wedge x \geq 0 \wedge y \geq 0 \wedge z \geq 0\}\}, se a sua densidade é\rho(x, y, z)=z$
Densidade do sólido em cada ponto (x,y,z): \rho(x,y,z)=z.
O que é pedido: calcular a massa total do sólido V com essa densidade.
Passo 2
Lembrete teórico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
A massa M de um sólido com densidade volumétrica \rho(x,y,z) é dada pela integral tripla da densidade sobre a região:
M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.
Aqui dV é o elemento de volume (por exemplo dV=dz\,dy\,dx se integrarmos nessa ordem). Isso significa somar (integrar) as contribuições de massa \rho\,dV de cada pedacinho infinitesimal de volume do sólido.
Passo 3
Descrever a geometria de V e escolher limites de integração (muito importante entender as fronteiras):
A condição x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0 diz que estamos no primeiro octante.
A condição x+y+z\le a é o lado interno do plano \;x+y+z=a que intersecta os eixos nos pontos (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). Logo V é um tetraedro limitado pelo plano e pelos planos coordenados.
Para fixar limites: para pontos com coordenadas x e y dadas, z varia de \;0 até \;a-x-y (porque z\ge 0 e x+y+z\le a implica z\le a-x-y).
Para um x fixo, y varia de \;0 até \;a-x (pois y\ge0 e x+y\le a).
Finalmente x varia de \;0 até \;a.
Portanto uma escolha natural de ordem é dz\,dy\,dx com os limites:
Explicando: o integrando é z porque a densidade no ponto é z; dz\,dy\,dx significa somar primeiro em z para cada (fixo) (x,y), depois em y, depois em x.
Comentário: usei a primitiva de z, que é \tfrac{1}{2}z^2, e avaliei nos limites de 0 a a-x-y.
Passo 6
Agora integrar em y a expressão obtida:
\int_{y=0}^{a-x} \frac{1}{2}(a-x-y)^{2}\,dy.
Fazer uma substituição simples para tornar a conta direta: defina u=a-x-y. Então quando y=0 tem-se u=a-x e quando y=a-x tem-se u=0. Além disso du=-dy. Assim
O resultado tem dimensão correta: densidade com dimensão de massa/volume multiplicada por a^{4} — se a tem dimensão de comprimento, \;a^{4} combinado com o fator numérico resulta em massa (verificação informal).
O sólido simétrico torna o cálculo relativamente simples, e a densidade linear em z levou a uma potência mais alta de a no resultado.