Determinar a massa do sólido:
V=\{(x, y, z): 0 \leq x+y+z \leq a \wedge x \geq 0 \wedge y \geq 0 \wedge z \geq 0\}\} , se a sua densidade éé\rho(x, y, z)=z$

Passo 1

O enunciado dá o sólido V e a densidade \rho:
  • Região V definida por
V=\{(x,y,z)\mid 0 \leq x+y+z \leq a,\; x\ge 0,\; y\ge 0,\; z\ge 0\}.
  • Densidade do sólido em cada ponto (x,y,z): \rho(x,y,z)=z.
    O que é pedido: calcular a massa total do sólido V com essa densidade.

Passo 2

Lembrete teórico e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A massa M de um sólido com densidade volumétrica \rho(x,y,z) é dada pela integral tripla da densidade sobre a região:
M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.
Aqui dV é o elemento de volume (por exemplo dV=dz\,dy\,dx se integrarmos nessa ordem). Isso significa somar (integrar) as contribuições de massa \rho\,dV de cada pedacinho infinitesimal de volume do sólido.

Passo 3

Descrever a geometria de V e escolher limites de integração (muito importante entender as fronteiras):
  • A condição x\ge 0,\;y\ge 0,\;z\ge 0 diz que estamos no primeiro octante.
  • A condição x+y+z\le a é o lado interno do plano \;x+y+z=a que intersecta os eixos nos pontos (a,0,0), (0,a,0), (0,0,a). Logo V é um tetraedro limitado pelo plano e pelos planos coordenados.
  • Para fixar limites: para pontos com coordenadas x e y dadas, z varia de \;0 até \;a-x-y (porque z\ge 0 e x+y+z\le a implica z\le a-x-y).
  • Para um x fixo, y varia de \;0 até \;a-x (pois y\ge0 e x+y\le a).
  • Finalmente x varia de \;0 até \;a.
    Portanto uma escolha natural de ordem é dz\,dy\,dx com os limites:
0\le x\le a,\quad 0\le y\le a-x,\quad 0\le z\le a-x-y.

Passo 4

Montar a integral da massa usando a densidade \rho(x,y,z)=z e os limites encontrados:
M=\iiint_{V} z\,dV = \int_{x=0}^{a}\int_{y=0}^{a-x}\int_{z=0}^{a-x-y} z\,dz\,dy\,dx.
Explicando: o integrando é z porque a densidade no ponto é z; dz\,dy\,dx significa somar primeiro em z para cada (fixo) (x,y), depois em y, depois em x.

Passo 5

Calcular a integral interna em z:
\int_{z=0}^{a-x-y} z\,dz = \left.\frac{1}{2}z^{2}\right|_{0}^{a-x-y} = \frac{1}{2}(a-x-y)^{2}.
Comentário: usei a primitiva de z, que é \tfrac{1}{2}z^2, e avaliei nos limites de 0 a a-x-y.

Passo 6

Agora integrar em y a expressão obtida:
\int_{y=0}^{a-x} \frac{1}{2}(a-x-y)^{2}\,dy.
Fazer uma substituição simples para tornar a conta direta: defina u=a-x-y. Então quando y=0 tem-se u=a-x e quando y=a-x tem-se u=0. Além disso du=-dy. Assim
\int_{y=0}^{a-x} \frac{1}{2}(a-x-y)^{2}\,dy = \int_{u=a-x}^{0} \frac{1}{2}u^{2}(-du) = \int_{u=0}^{a-x} \frac{1}{2}u^{2}\,du.
Calcule a integral:
\int_{0}^{a-x} \frac{1}{2}u^{2}\,du = \frac{1}{2}\cdot\left.\frac{1}{3}u^{3}\right|_{0}^{a-x} = \frac{1}{6}(a-x)^{3}.

Passo 7

Falta integrar em x:
M=\int_{x=0}^{a} \frac{1}{6}(a-x)^{3}\,dx.
Novamente uma substituição direta: seja t=a-x. Quando x=0 tem t=a; quando x=a tem t=0; e dt=-dx. Então
\int_{x=0}^{a} \frac{1}{6}(a-x)^{3}\,dx = \int_{t=a}^{0} \frac{1}{6}t^{3}(-dt) = \int_{t=0}^{a} \frac{1}{6}t^{3}\,dt.
Agora calcule:
\int_{0}^{a} \frac{1}{6}t^{3}\,dt = \frac{1}{6}\cdot\left.\frac{1}{4}t^{4}\right|_{0}^{a} = \frac{1}{24}a^{4}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida:
  • O resultado tem dimensão correta: densidade com dimensão de massa/volume multiplicada por a^{4} — se a tem dimensão de comprimento, \;a^{4} combinado com o fator numérico resulta em massa (verificação informal).
  • O sólido simétrico torna o cálculo relativamente simples, e a densidade linear em z levou a uma potência mais alta de a no resultado.

Resposta

\dfrac{a^{4}}{24}

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