Determinar a massa do cilindro V=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2} \leq r^{2} \wedge 0 \leq z \leq h\right\}, se a sua densidade em cada ponto é proporcional ao quadrado da distância deste ponto ao eixo do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro reto e pede a sua massa. Vou listar claramente os dados e o que se pede.
  • Região do sólido: \,V=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le r^{2}\\ \wedge\\\ 0\le z\le h\}. Ou seja, cilindro de raio \,r e altura \,h com base no plano z=0.
  • Densidade: a densidade em cada ponto é proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao eixo do cilindro. Vou representar a constante de proporcionalidade por k (positiva).
    Assim, se \rho for a distância ao eixo, a densidade é \sigma = k\,\rho^{2}.
  • O que se pede: determinar a massa total do cilindro em termos de k, r e h.

Passo 2

Escolhendo as coordenadas apropriadas e explicando por quê.
  • Por simetria do problema (o sólido é um cilindro em torno do eixo z e a densidade depende só da distância ao eixo), é natural usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis \rho, \theta e z, com as relações x=\rho\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\theta,\qquad z=z,onde \rho\ge0, \theta\in[0,2\pi), z\in\mathbb{R}.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas vale dV=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz.Aqui \rho na expressão de dV é o fator Jacobiano (geometricamente surge porque um pequeno anel radial tem área aproximada \rho\,d\rho\,d\theta).

Passo 3

Escrever a densidade e montar a integral para a massa.
  • A distância ao eixo é justamente \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. O enunciado diz densidade proporcional ao quadrado dessa distância, então escolhemos \sigma(\rho,\theta,z)=k\,\rho^{2},onde k é a constante de proporcionalidade (unidades adequadas).
  • A massa total é a integral da densidade sobre todo o volume: M=\iiint_{V}\sigma\,dV.
  • Em coordenadas cilíndricas, os limites são \rho\in[0,r], \theta\in[0,2\pi], z\in[0,h]. Substituindo \sigma e dV obtemos a integral iterada M=\int_{z=0}^{h}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{r} k\,\rho^{2}\cdot \rho\,d\rho\,d\theta\,dzou, simplificando o integrando, M=k\int_{0}^{h}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{r}\rho^{3}\,d\rho\,d\theta\,dz.

Passo 4

Calcular as integrais passo a passo.
  • Primeiro integrar em \rho: \int_{0}^{r}\rho^{3}\,d\rho=\left.\frac{\rho^{4}}{4}\right|_{0}^{r}=\frac{r^{4}}{4}.
  • Em seguida integrar em \theta: \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Finalmente integrar em z: \int_{0}^{h} dz = h.
  • Juntando tudo com o fator k: M = k\cdot h \cdot 2\pi \cdot \frac{r^{4}}{4}.Simplificando os fatores numéricos: M = k\,h\,\frac{\pi r^{4}}{2}.

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida.
  • Dimensionalmente: se k tem unidade de massa/length^{4}, então k r^{4} tem unidade de massa e multiplicando por h e por uma constante adimensional resulta em massa — faz sentido.
  • Caso queira um exemplo numérico rápido: se k=1 (unidades compatíveis), a massa seria M=\dfrac{\pi h r^{4}}{2}.

Resposta

M=\frac{\pi k h r^{4}}{2}

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