Determinar a massa do cilindro
, se a sua densidade em cada ponto é proporcional ao quadrado da distância deste ponto ao eixo do cilindro.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro reto e pede a sua massa. Vou listar claramente os dados e o que se pede.
- Região do sólido:
. Ou seja, cilindro de raio e altura com base no plano . - Densidade: a densidade em cada ponto é proporcional ao quadrado da distância desse ponto ao eixo do cilindro. Vou representar a constante de proporcionalidade por
(positiva).
Assim, sefor a distância ao eixo, a densidade é . - O que se pede: determinar a massa total do cilindro em termos de
, e .
Passo 2
Escolhendo as coordenadas apropriadas e explicando por quê.
- Por simetria do problema (o sólido é um cilindro em torno do eixo
e a densidade depende só da distância ao eixo), é natural usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas usamos as variáveis , e , com as relações onde , , . - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas vale
Aqui na expressão de é o fator Jacobiano (geometricamente surge porque um pequeno anel radial tem área aproximada ).
Passo 3
Escrever a densidade e montar a integral para a massa.
- A distância ao eixo é justamente
. O enunciado diz densidade proporcional ao quadrado dessa distância, então escolhemos onde é a constante de proporcionalidade (unidades adequadas). - A massa total é a integral da densidade sobre todo o volume:
- Em coordenadas cilíndricas, os limites são
, , . Substituindo e obtemos a integral iterada ou, simplificando o integrando,
Passo 4
Calcular as integrais passo a passo.
- Primeiro integrar em
: - Em seguida integrar em
: - Finalmente integrar em
: - Juntando tudo com o fator
: Simplificando os fatores numéricos:
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida.
- Dimensionalmente: se
tem unidade de massa/length^{4}, então tem unidade de massa e multiplicando por e por uma constante adimensional resulta em massa — faz sentido. - Caso queira um exemplo numérico rápido: se
(unidades compatíveis), a massa seria .