Determine e classifique os pontos críticos da função.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos de
e classificá-los (mínimo, máximo ou sela). Vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos onde
e, em seguida, aplicar o teste da matriz Hessiana (segunda derivada).
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Para pontos críticos precisamos resolver
Da primeira equação vem
ou
.
Da segunda vem ou
.
Logo, os pontos críticos são
Da segunda vem
Logo, os pontos críticos são
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e o determinante da Hessiana.
O discriminante é
Passo 5
Avaliamos
,
e
em cada ponto para classificar:
(1) Em
:
⇒ sela.
(2) Em
:
⇒ mínimo local.
(3) Em
:
⇒ máximo local.
(4) Em
:
⇒ sela.
Resposta
(0,0): ponto de sela
(0,2): mínimo local
(−2,0): máximo local
(−2,2): ponto de sela
(0,2): mínimo local
(−2,0): máximo local
(−2,2): ponto de sela