Determine e classifique os pontos críticos da função.
f(x, y)=x^{3}+y^{3}+3 x^{2}-3 y^{2}-8

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de
f(x,y)=x^{3}+y^{3}+3x^{2}-3y^{2}-8
e classificá-los (mínimo, máximo ou sela). Vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos onde \nabla f=0 e, em seguida, aplicar o teste da matriz Hessiana (segunda derivada).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+6x=3x(x+2),
\frac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}-6y=3y(y-2).

Passo 3

Para pontos críticos precisamos resolver
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Da primeira equação vem x=0 ou x=-2.
Da segunda vem y=0 ou y=2.
Logo, os pontos críticos são
(0,0),\quad (0,2),\quad (-2,0),\quad (-2,2).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de segunda ordem e o determinante da Hessiana.
f_{xx}=6x+6,\quad f_{yy}=6y-6,\quad f_{xy}=0.
O discriminante é
D(x,y)=f_{xx}\,f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2}= (6x+6)(6y-6).

Passo 5

Avaliamos f_{xx}, f_{yy} e D em cada ponto para classificar:
(1) Em (0,0):
f_{xx}=6,\quad f_{yy}=-6,\quad D=6\cdot(-6)=-36<0
⇒ sela.
(2) Em (0,2):
f_{xx}=6,\quad f_{yy}=6,\quad D=6\cdot6=36>0,\quad f_{xx}>0
⇒ mínimo local.
(3) Em (-2,0):
f_{xx}=-6,\quad f_{yy}=-6,\quad D=(-6)\cdot(-6)=36>0,\quad f_{xx}<0
⇒ máximo local.
(4) Em (-2,2):
f_{xx}=-6,\quad f_{yy}=6,\quad D=(-6)\cdot6=-36<0
⇒ sela.

Resposta

(0,0): ponto de sela
(0,2): mínimo local
(−2,0): máximo local
(−2,2): ponto de sela

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