Utilize a regra da cadeia para encontrar \frac{\partial z}{\partial \theta} \mathrm{se}
z=\ln \left(u^{2}+v^{2}\right), u=\cos \theta \cos \varphi, v=\sin \theta \cos \varphi .

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a regra da cadeia e calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial \theta}
onde
z = \ln\bigl(u^2+v^2\bigr),\quad u = \cos\theta\cos\varphi,\quad v = \sin\theta\cos\varphi.
O conteúdo principal aqui é derivada de função composta: z depende de u e v, que por sua vez dependem de \theta.

Passo 2

Aplicamos a derivada de \ln(t) em relação a t e depois a regra da cadeia para u e v. Assim,
\frac{\partial z}{\partial \theta} = \frac{1}{u^2+v^2}\,\frac{\partial}{\partial \theta}\bigl(u^2+v^2\bigr) = \frac{1}{u^2+v^2}\bigl(2u\,\frac{\partial u}{\partial \theta}+2v\,\frac{\partial v}{\partial \theta}\bigr).

Passo 3

Agora derivamos u e v em relação a \theta:
\frac{\partial u}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}(\cos\theta\cos\varphi) = -\sin\theta\cos\varphi,
\frac{\partial v}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin\theta\cos\varphi) = \cos\theta\cos\varphi.

Passo 4

Substituímos em 2u\,u_\theta+2v\,v_\theta:
u\,\frac{\partial u}{\partial \theta} = (\cos\theta\cos\varphi)(-\,\sin\theta\cos\varphi) = -\cos\theta\sin\theta\cos^2\varphi,
v\,\frac{\partial v}{\partial \theta} = (\sin\theta\cos\varphi)(\cos\theta\cos\varphi) = \sin\theta\cos\theta\cos^2\varphi.
Somando,
2\bigl(u\,u_\theta+v\,v_\theta\bigr) =2\bigl(-\cos\theta\sin\theta\cos^2\varphi+\sin\theta\cos\theta\cos^2\varphi\bigr) =0.

Passo 5

Como o numerador ficou zero, concluímos que
\frac{\partial z}{\partial \theta} = \frac{0}{u^2+v^2} =0.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial \theta}=0.

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