Calcular o volume do solido A interior à elipsoide x^2+12 y^2+34 z^2+x z=1.

Passo 1

O problema pede o volume do sólido descrito pela elipsoide x^2 + tfrac12y^2 + tfrac34z^2 + xz = 1. Vamos usar o fato de que, para a região xin R^3:;x^T A x<=1, o volume é tfrac4pi3,llvertdet Arrvert^-1/2.

Passo 2

Primeiro escrevemos a forma quadrática na forma matricial x^T A x. Aqui x=(x,y,z)^T e
A= 1 & 0 & tfrac12 0 & tfrac12 & 0 tfrac12 & 0 & tfrac34

Passo 3

Agora calculamos det A. Expandindo pela segunda linha (única linha com dois zeros), temos
det A = 12det1 & tfrac12[6pt]tfrac12 & tfrac34 = 12l(1cdottfrac34 - tfrac12cdottfrac12r) = 12l(tfrac34 - tfrac14r) = 12cdottfrac12 = tfrac14

Passo 4

Finalmente, aplicamos a fórmula do volume da elipsoide x^T A x<=1:
V = 4pi3,1raizdet A = 4pi3,112 = 8pi3

Resposta

8pi3

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