Usando mudança de variáveis, calcular
e
definidos por :
e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x{2}+y{2} \leq z \leq \sqrt{x{2}+y{2}}\right}).
Passo 1
A questão pede calcular o integral
, onde o domínio
é dado por
. O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas e avaliação de integrais iteradas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas usamos
,
,
. Então
,
e
. As condições do sólido viram
Passo 3
O integral fica
Passo 4
Primeiro integramos em
usando a antiderivada
. Depois multiplicamos por
, avaliamos de
até
e integramos em
de 0 a 1.
Passo 5
A integral em
resultante é trabalhosa analiticamente mas pode ser concluída por métodos de substituição ou até numericamente. Ao final obtém-se aproximadamente