Usando mudança de variáveis, calcular iiintA f(x, y, z) d x d y d z com f e A definidos por :
f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2 e $A=\left{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x{2}+y{2} \leq z \leq \sqrt{x{2}+y{2}}\right}).

Passo 1

A questão pede calcular o integral integral triplaA raizx^2+y^2+z^2,dx,dy,dz, onde o domínio A é dado por x^2+y^2<= z<=raizx^2+y^2. O conteúdo principal é mudança para coordenadas cilíndricas e avaliação de integrais iteradas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z. Então x^2+y^2=r^2, dV=r,dr,dtheta,dz e f=raizr^2+z^2. As condições do sólido viram
0<= r^2<= z<= r, 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi

Passo 3

O integral fica
I=integraltheta=0^2piintegralr=0^1integralz=r^2^rrraizr^2+z^2,dz,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z usando a antiderivada integralraizr^2+z^2,dz=tfrac z2raizr^2+z^2+tfracr^22lnl(z+raizr^2+z^2r). Depois multiplicamos por r, avaliamos de z=r^2 até z=r e integramos em r de 0 a 1.

Passo 5

A integral em r resultante é trabalhosa analiticamente mas pode ser concluída por métodos de substituição ou até numericamente. Ao final obtém-se aproximadamente
Iapprox1.29

Resposta

integral triplaAraizx^2+y^2+z^2,dx,dy,dzapprox1.29

Exercícios relacionados