1.4 Encontre o ângulo entre a diagonal de um cubo e a diagonal de uma de suas faces (com uma extremidade comum).
Solução: Observe que a solução independe de qual cubo estamos tratando. Então considere o cubo cujos vértices são A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(0,1,0), D=(0,0,1), E=(1,1,0), F=(1,0,1), G=(0,1,1) e H=(1,1,1). Considere agora a diagonal A H do cubo e A E de uma das faces. Veja que o vértice A é comum a essas duas diagonais. Precisamos determinar o ângulo entre u=A H=(1,1,1) e v=A E=(1,1,0). Se alpha é esse ângulo, então
cos alpha=lang<=u, vrang<=|u||v|=2raiz6
Logo, alpha=arccos 2raiz6. Veja que temos dois valores possíveis para arccos 2raiz6, um agudo e outro obtuso. No caso consideramos o ângulo agudo.

Passo 1

Resumindo a questão: queremos achar o ângulo entre a diagonal espacial de um cubo e a diagonal de uma de suas faces que partem de um vértice comum. O conteúdo envolve produto escalar de vetores em geometria no espaço.

Passo 2

Para simplificar, consideramos um cubo de aresta 1 no sistema de coordenadas, com vértice em A=(0,0,0). O vértice oposto é H=(1,1,1) e escolhemos a diagonal da face que vai de A até E=(1,1,0).
Representamos as diagonais pelos vetores:
u=AH=(1,1,1) e v=AE=(1,1,0).

Passo 3

Lembrando a teoria: o produto escalar é dado por ucdotv=u1v1+u2v2+u3v3, a norma de um vetor w é |w|=raizw1^2+w2^2+w3^2, e o ângulo alpha entre u e v satisfaz
cosalpha=ucdotv|u|,|v|

Passo 4

Calculando os valores: ucdotv=1cdot1+1cdot1+1cdot0=2, |u|=raiz1+1+1=raiz3 e |v|=raiz1+1+0=raiz2. Assim,
cosalpha=2raiz3,raiz2=2raiz6

Passo 5

Concluímos que o ângulo agudo procurado é alpha=arccos2raiz6.

Resposta

alpha=arccos2raiz6

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