Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
50.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x^2(sin 2x^3 + 4x),dx usando o método da substituição, que consiste em reconhecer uma parte do integrando como g'(x) e outra como f(g(x)) para definir u = g(x). Vamos aplicá-lo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, observamos que dá para separar a integral em duas partes somadas:
integral x^2(sin 2x^3 + 4x),dx = integral x^2sin(2x^3),dx + integral 4x^3,dx

Passo 3

Para calcular integral x^2sin(2x^3),dx, fazemos a substituição
u = 2x^3 implies du = 6x^2,dx implies x^2,dx = du6

Passo 4

Substituindo, a integral vira
integral x^2sin(2x^3),dx = integral sin(u)cdot du6 = 16integral sin(u),du = -16cos(u) + C1 = -16cos(2x^3) + C1

Passo 5

Agora calculamos integral 4x^3,dx diretamente, pois é uma potência de x:
integral 4x^3,dx = 4cdot x^44 + C2 = x^4 + C2

Passo 6

Somando as duas partes e juntando as constantes em uma só, obtemos a primitiva geral:
-16cos(2x^3) + x^4 + C

Resposta

-\frac{1}{6}\cos(2x^{3}) + x^{4} + C

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