Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies e . R. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido limitado pelas superfícies e , onde . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que definem o sólido. A equação representa um paraboloide circular de abertura para baixo. Já a equação é um plano horizontal que corta o paraboloide.
Passo 3
Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, podemos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para problemas com simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E a expressão se torna .
Passo 4
Reescrevendo a equação do paraboloide em coordenadas cilíndricas:
Agora, temos os limites para que vão de até .
Passo 5
Vamos determinar o limite para . No ponto onde o paraboloide e o plano se encontram, . Substituindo na expressão de :
Passo 6
Agora, montamos a integral para calcular o volume :
Aqui, o extra vem do elemento de área em coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral em relação a primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral em relação a :
Passo 9
Por fim, integramos em relação a theta :
V = integral0^2pi a^316 , dtheta = a^316 times 2pi = a^3 pi8 times 3 = 3 pi a^38