Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies a^2-a z=x^2+y^2 e z=a / 2(a>0). R. 3 pi a^3 / 8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido limitado pelas superfícies a^2 - a z = x^2 + y^2 e z = a2 , onde a > 0 . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que definem o sólido. A equação a^2 - a z = x^2 + y^2 representa um paraboloide circular de abertura para baixo. Já a equação z = a2 é um plano horizontal que corta o paraboloide.

Passo 3

Para encontrar o volume entre essas duas superfícies, podemos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para problemas com simetria circular. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E a expressão x^2 + y^2 se torna r^2 .

Passo 4

Reescrevendo a equação do paraboloide em coordenadas cilíndricas:
a^2 - a z = r^2 Rightarrow z = a^2 - r^2a
Agora, temos os limites para z que vão de a2 até a^2 - r^2a .

Passo 5

Vamos determinar o limite para r . No ponto onde o paraboloide e o plano se encontram, z = a2 . Substituindo na expressão de z :
a2 = a^2 - r^2a Rightarrow a2 = a - r^2a Rightarrow r^2a = a2 Rightarrow r^2 = a^22 Rightarrow r = araiz2

Passo 6

Agora, montamos a integral para calcular o volume V :
V = integral0^2pi integral0^araiz2 integrala2^a^2 - r^2a r , dz , dr , dtheta
Aqui, o r extra vem do elemento de área em coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral em relação a z primeiro:
integrala2^a^2 - r^2a dz = a^2 - r^2a - a2 = a2 - r^2a
Então, a integral fica:
V = integral0^2pi integral0^araiz2 ( a2 - r^2a ) r , dr , dtheta

Passo 8

Agora, resolvemos a integral em relação a r :
integral0^araiz2 ( a2 r - r^3a ) dr = a4 r^2 - r^44a g|0^araiz2 = a4 ( a^22 ) - 14a ( a^44 ) = a^38 - a^316 = a^316

Passo 9

Por fim, integramos em relação a theta :
V = integral0^2pi a^316 , dtheta = a^316 times 2pi = a^3 pi8 times 3 = 3 pi a^38

Resposta

O volume do sólido é 3 pi a^38 .

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