(6) Calcule, se existir, o valor dos seguintes limites:
lim x 0 x^2 sen(1x)sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to 0 x^2,sin!l(tfrac1xr)sin x
O conteúdo envolvido é cálculo de limite, usando a equivalência de sin x com x para xto0 e o Teorema do Confronto (Sanduíche).

Passo 2

Para xneq0 podemos reescrever a expressão como
x^2,sin!l(tfrac1xr)sin x = x,sin!l(tfrac1xr);cdot;xsin x,
separando o problema em dois limites mais simples.

Passo 3

Conhecemos o limite fundamental
limxto0sin xx=1,
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limxto0xsin x=1

Passo 4

A outra parcela é xsin(1/x). Como sin(1/x) está sempre em [-1,1],
l|x,sin!l(tfrac1xr)r|<= |x|,
e limxto0|x|=0. Pelo Teorema do Confronto segue
limxto0x,sin!l(tfrac1xr)=0

Passo 5

Como ambos os limites existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites:
limxto0x^2,sin!l(tfrac1xr)sin x =l(limxto0x,sin!l(tfrac1xr)r),cdot, l(limxto0xsin xr) =0cdot1=0

Resposta

0

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