Escreva uma integral tripla representando o volume de uma fatia do bolo cilíndrico de altura 2 e raio 5 , entre os planos e . Calcule esta integral. R. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um bolo cilíndrico com altura 2 e raio 5, e queremos encontrar o volume de uma fatia desse bolo que está entre os ângulos e . Para isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas, que são super úteis para calcular volumes de objetos redondos como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, a gente representa um ponto no espaço com , onde:
é a distância do ponto ao eixo central (raio),
é o ângulo em relação ao eixo x,
é a altura.
Como o bolo tem raio 5 e altura 2, nossos limites serão:
vai de 0 a 5,
vai de a ,
vai de 0 a 2.
Passo 3
A fórmula para calcular o volume usando coordenadas cilíndricas é:
Aqui, é importante porque no volume em coordenadas cilíndricas a gente multiplica pela “espessura” do anel, que é .
Passo 4
Vamos colocar os nossos limites na integral:
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a :
Agora nossa integral fica:
V = integralpi/6^pi/3 integral0^5 2r , dr , dtheta