Escreva uma integral tripla representando o volume de uma fatia do bolo cilíndrico de altura 2 e raio 5 , entre os planos theta=pi / 6 e theta=pi / 3. Calcule esta integral. R. 25 pi / 6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um bolo cilíndrico com altura 2 e raio 5, e queremos encontrar o volume de uma fatia desse bolo que está entre os ângulos theta = pi/6 e theta = pi/3. Para isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas, que são super úteis para calcular volumes de objetos redondos como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas cilíndricas, a gente representa um ponto no espaço com (r, theta, z), onde:
  • r é a distância do ponto ao eixo central (raio),
  • theta é o ângulo em relação ao eixo x,
  • z é a altura.
Como o bolo tem raio 5 e altura 2, nossos limites serão:
  • r vai de 0 a 5,
  • theta vai de pi/6 a pi/3,
  • z vai de 0 a 2.

Passo 3

A fórmula para calcular o volume usando coordenadas cilíndricas é:
V = integraltheta1^theta2 integralr=0^R integralz=0^H r , dz , dr , dtheta
Aqui, r é importante porque no volume em coordenadas cilíndricas a gente multiplica pela “espessura” do anel, que é r.

Passo 4

Vamos colocar os nossos limites na integral:
V = integralpi/6^pi/3 integral0^5 integral0^2 r , dz , dr , dtheta

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a z:
integral0^2 r , dz = r cdot z gr|0^2 = r cdot 2 = 2r
Agora nossa integral fica:
V = integralpi/6^pi/3 integral0^5 2r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, integramos em relação a r:
integral0^5 2r , dr = 2 cdot r^22 gr|0^5 = r^2 gr|0^5 = 25 - 0 = 25
Agora a integral é:
V = integralpi/6^pi/3 25 , dtheta

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a theta:
integralpi/6^pi/3 25 , dtheta = 25 cdot ( theta ) gr|pi/6^pi/3 = 25 cdot ( pi3 - pi6 ) = 25 cdot pi6 = 25pi6

Resposta

dfrac25,pi6

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