Calcular o volume dos sólidos delimitados pelas superfícies dadas:
z=9-x^2-y^2 e z=x^2+y^2;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
z = 9 - x^2 - y^2
e
z = x^2 + y^2
O conteúdo envolvido é o cálculo de volume por integração dupla e, para simplificar, usaremos coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro achamos a curva de interseção das duas superfícies, resolvendo
9 - r^2 = r^2Longrightarrow 2r^2 = 9Longrightarrow r^2 = 92
Assim, a projeção D do sólido no plano xy é o disco
0 <= r <= 3raiz2, 0 <= theta <= 2pi

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas temos x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta e
ztopo - zfundo = (9 - r^2) - r^2 = 9 - 2r^2
Portanto o volume é
V = integral duplaD(ztopo - zfundo),dA = integral0^2pi!integral0^3/raiz2(9 - 2r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em r:
integral0^3/raiz2(9r - 2r^3),dr = [92r^2 - 12r^4]0^3/raiz2 = 92cdot92 ;-;12cdot814 = 814 - 818 = 818
Em seguida a integral em theta:
V = integral0^2pi818,dtheta = 818cdot 2pi = 81pi4

Resposta

V = 81pi4

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