Calcule os limites, se possível
lim (x, y) (0,0) 5 x^3 y2 x^4+y^4.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função 5 x^3 y2 x^4+y^4 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta ao aproximar (x, y) de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite nesse contexto. Quando falamos de limites em duas variáveis, queremos ver se a função tem um valor específico conforme nos aproximamos do ponto (0,0) por qualquer direção. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos possíveis, então o limite existe e é esse valor comum. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo. Um jeito comum de fazer isso é escolher caminhos específicos, como linhas ou curvas, e calcular o limite ao longo desses caminhos.

Passo 4

Primeiro caminho: Vamos escolher o caminho onde y = x. Substituindo y por x na função, temos:
5 x^3 cdot x2 x^4 + x^4 = 5 x^43 x^4 = 53
Então, ao aproximar (x, y) de (0,0) pelo caminho y = x, o limite é 53.

Passo 5

Segundo caminho: Agora, vamos escolher um caminho diferente, por exemplo, y = x^2. Substituindo y por x^2 na função, temos:
5 x^3 cdot x^22 x^4 + (x^2)^4 = 5 x^52 x^4 + x^8 = 5 x^52 x^4 (1 + x^42) = 5 x2 (1 + x^42)
À medida que x se aproxima de 0, 5 x2 (1 + x^42) também se aproxima de 0.

Passo 6

Observamos que, ao usar y = x, o limite é 53, e ao usar y = x^2, o limite é 0. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) 5 x^3 y2 x^4+y^4 não existe, pois assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.

Exercícios relacionados