Calcule os limites, se possível
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está relacionado ao estudo de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar analisar como a função se comporta ao aproximar
de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite nesse contexto. Quando falamos de limites em duas variáveis, queremos ver se a função tem um valor específico conforme nos aproximamos do ponto
por qualquer direção. Se o limite for o mesmo por todos os caminhos possíveis, então o limite existe e é esse valor comum. Caso contrário, o limite não existe.
Passo 3
Vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se o limite é o mesmo. Um jeito comum de fazer isso é escolher caminhos específicos, como linhas ou curvas, e calcular o limite ao longo desses caminhos.
Passo 4
Primeiro caminho: Vamos escolher o caminho onde
. Substituindo
por
na função, temos:
Então, ao aproximar
de
pelo caminho
, o limite é
.
Passo 5
Segundo caminho: Agora, vamos escolher um caminho diferente, por exemplo,
. Substituindo
por
na função, temos:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0.
Passo 6
Observamos que, ao usar
, o limite é
, e ao usar
, o limite é 0. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, podemos concluir que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.