Um ion de níquel ^58 Ni que tem carga igual a +e e massa igual a 9,62 times 10^-26 kg é acelerado através de um potencial de 3,00 kV e desviada em um campo magnético de 0,12 T. Encontre o raio de curvatura da órbita do ion de níquel ^58 Ni.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos um íon de níquel, especificamente o ^58Ni, que tem uma carga de +e (onde e é a carga elementar) e uma massa de 9,62 times 10^-26 kg. Esse íon é acelerado por um potencial elétrico de 3,00 kV (ou 3000 volts) e depois entra num campo magnético de 0,12 T (tesla). Nosso objetivo é descobrir qual é o raio da trajetória que esse íon vai seguir quando estiver nesse campo magnético.
Vamos precisar usar conceitos de energia cinética, força magnética e movimento circular de partículas carregadas. Pronto pra começar? Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, a gente precisa descobrir quanta energia o íon ganha quando é acelerado pelo potencial de 3,00 kV. A energia fornecida pelo campo elétrico é dada pela fórmula:
E = qV
Aqui, q é a carga do íon e V é o potencial elétrico. Sabemos que a carga do íon é +e, onde e = 1,60 times 10^-19 C. Então:
E = e times 3000 V = (1,60 times 10^-19 C) times 3000 V = 4,80 times 10^-16 J
Essa energia é convertida em energia cinética do íon, que é dada por:
Ecinética = 12 m v^2 é
Onde m é a massa do íon e v é a velocidade que queremos encontrar. Igualando as duas expressões:
12 m v^2 = eV
Vamos resolver para v.

Passo 3

Para achar a velocidade v, vamos reorganizar a equação:
v = raiz2 e Vm
Substituindo os valores que temos:
v = raiz2 times 1,60 times 10^-19 C times 3000 V9,62 times 10^-26 kg
Vamos calcular isso passo a passo:
  1. Multiplicando 2 times 1,60 times 10^-19 C times 3000 V:
2 times 1,60 times 10^-19 times 3000 = 9,60 times 10^-16 J
  1. Dividindo pelo massa m:
9,60 times 10^-16 J9,62 times 10^-26 kg approx 9,98 times 10^9 m^2/s^2
  1. Tirando a raiz quadrada:
v = raiz9,98 times 10^9 m^2/s^2 approx 9,99 times 10^4 m/s
Então, a velocidade do íon após ser acelerado é aproximadamente 9,99 times 10^4 m/s.

Passo 4

Agora que sabemos a velocidade do íon, vamos descobrir o raio da trajetória circular que ele vai seguir no campo magnético. Quando uma partícula carregada se move em um campo magnético, ela experimenta uma força magnética que a faz se mover em uma trajetória circular. A força magnética é dada por:
F = qvB
Essa força também é igual à força centrípeta necessária para manter o movimento circular:
F = m v^2r
Igualando as duas expressões:
qvB = m v^2r
Vamos resolver para r:
r = m vq B

Passo 5

Vamos agora substituir os valores que já temos na fórmula:
r = 9,62 times 10^-26 kg times 9,99 times 10^4 m/s1,60 times 10^-19 C times 0,12 T
Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando m times v:
9,62 times 10^-26 kg times 9,99 times 10^4 m/s approx 9,61 times 10^-21 kg cdot m/s
  1. Multiplicando q times B:
1,60 times 10^-19 C times 0,12 T = 1,92 times 10^-20 C cdot T
  1. Dividindo os dois resultados:
r = 9,61 times 10^-211,92 times 10^-20 approx 0,50 m

Resposta

O raio de curvatura da órbita do íon de níquel ^58Ni é de aproximadamente 0,50 metros.

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