Calcule os limites a seguir:
(a) lim x 0 sin (x) cos (1 / x).
(d) lim x 0 sen(x^3)x
(g) lim x 0 sin ^2(1 / x) cos (x-pi / 2)sin ^2(1 / x)+x^2+1
(b) lim t 0 sen(2 t)2 t
(e) lim x 0 xsen x
(h) lim t 0 1-cos tsen t
(c) lim t 0 sen(2 t)t
(f) lim x pi sen(x-pi)x-pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular oito limites envolvendo funções trigonométricas à medida que x ou t se aproxima de 0 ou pi. Vamos usar:
(1) Teorema do confronto para produtos de função limitada e termo que tende a zero;
(2) o limite fundamental
limuto 0sin uu=1;
(3) manipulações algébricas como substituição de variável ou fatoração.

Passo 2

Para (a) e (g) usamos que sin e cos são limitadas em [-1,1].
Em (a), sin(x)to 0 e cos(1/x) permanece em [-1,1], logo
sin(x)cos(1/x);longrightarrow;0cdot[-1,1]=0
Em (g), note que cos(x-pi/2)=sin x e sin^2(1/x)in[0,1]. Assim o numerador é sin^2(1/x),sin x e em módulo está limitado por |sin x|. O denominador tende a
sin^2(1/x)+x^2+1;longrightarrow;0+0+1=1
pois sin^2(1/x) oscila entre 0 e 1 mas x^2to0. Portanto a fração tende a 0/1=0.

Passo 3

Para (b) e (c) usamos o limite fundamental passando por sin(2t)/(2t).
Em (b) temos
sin(2t)2t;longrightarrow;1
Em (c) escrevemos
sin(2t)t =sin(2t)2tcdot 2 ;longrightarrow;1cdot2=2

Passo 4

No limite (d) aparece sin(x^3)/x. Escrevemos
sin(x^3)x =sin(x^3)x^3;x^2
e como sin(x^3)/(x^3)to1 e x^2to0, o produto tende a 0.

Passo 5

Em (e) aplicamos o fundamental ao inverso:
xsin x =1sin x / x ;longrightarrow;11=1

Passo 6

No limite (f) fazemos a troca u=x-pi. Como uto0,
sin(x-pi)x-pi =sin uu ;longrightarrow;1

Passo 7

Para (h) manipulamos
1-cos t=2sin^2!l(tfrac t2r),
logo
1-cos tsin t =2sin^2(tfrac t2)sin t =2sin(tfrac t2)t;tsin t;sin(tfrac t2)
Como sin(t/2)/(t/2)to1, t/sin tto1 e sin(t/2)to0, o produto tende a 0.

Resposta

(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 0
(e) 1
(f) 1
(g) 0
(h) 0

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