Calcule os limites a seguir:
(a)
.
(d)
(g)
(b)
(e)
(h)
(c)
(f)
(a)
(d)
(g)
(b)
(e)
(h)
(c)
(f)
Passo 1
O enunciado pede para calcular oito limites envolvendo funções trigonométricas à medida que
ou
se aproxima de
ou
. Vamos usar:
(1) Teorema do confronto para produtos de função limitada e termo que tende a zero;
(2) o limite fundamental
(1) Teorema do confronto para produtos de função limitada e termo que tende a zero;
(2) o limite fundamental
(3) manipulações algébricas como substituição de variável ou fatoração.
Passo 2
Para (a) e (g) usamos que
e
são limitadas em
.
Em (a), e
permanece em
, logo
Em (a),
Em (g), note que
e
. Assim o numerador é
e em módulo está limitado por
. O denominador tende a
pois
oscila entre 0 e 1 mas
. Portanto a fração tende a
.
Passo 3
Para (b) e (c) usamos o limite fundamental passando por
.
Em (b) temos
Em (b) temos
Em (c) escrevemos
Passo 4
No limite (d) aparece
. Escrevemos
e como
e
, o produto tende a
.
Passo 5
Em (e) aplicamos o fundamental ao inverso:
Passo 6
No limite (f) fazemos a troca
. Como
,
Passo 7
Para (h) manipulamos
logo
Como
,
e
, o produto tende a
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)