Calcular o volume do tetraedo T com faces nos planos coordenados e no plano x+y+z=3.

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro T limitado pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano x+y+z=3. É um problema de volume que podemos resolver por integração tripla (ou usando a fórmula de tetraedro pelos interceptos).

Passo 2

A região T é dada por
x>= 0, y>= 0, z>= 0, x+y+z<= 3
Para montar a integral, isolamos z: 0<= z<= 3-x-y. Em seguida deixamos y variar de 0 até 3-x, e x de 0 até 3.

Passo 3

Montamos então a integral do volume:
V = integral triplaT dV = integralx=0^3 integraly=0^3-x integralz=0^3-x-y dz,dy,dx
Aqui usamos o conceito de soma de volumes de fatias infinitesimais.

Passo 4

Calculamos passo a passo:
  1. Integração em z:
integral0^3-x-y dz = 3 - x - y
Fica
V = integral0^3 integral0^3-x (3 - x - y),dy,dx
  1. Integração em y:
integral0^3-x (3 - x - y),dy = l[(3-x)y - tfracy^22r]0^3-x = tfrac(3-x)^22
Então
V = integral0^3 tfrac(3-x)^22,dx = tfrac12 integral0^3 (3-x)^2,dx
  1. Fazendo a integral em x:
integral0^3 (3-x)^2 dx = integral0^3 u^2 du = l[tfracu^33r]0^3 = 9,
onde fizemos a troca u=3-x. Logo
V = tfrac12 cdot 9 = tfrac92

Resposta

tfrac92

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