Encontre o volume do prisma cuja base é o triângulo no plano xy limitado pelo eixo x e pelas retas y=x, x=1 e cujo topo está no plano z=3-x-y.
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(V= 1 u.v.)

Passo 1

O problema pede o volume do sólido limitado pela base triangular no plano xy, delimitada pelas retas y=0, y=x e x=1, e pelo plano superior z=3-x-y. O conteúdo é cálculo de integrais duplas: vamos expressar o volume como integral duplaR(3-x-y),dA.

Passo 2

Identificamos a região R no plano xy. As interseções das retas dão os vértices (0,0), (1,0) e (1,1). Para cada x entre 0 e 1, o valor de y varia de 0 até x.

Passo 3

Montamos a integral dupla na ordem dy,dx:
V = integralx=0^1 integraly=0^x l(3 - x - yr) , dy , dx

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integral0^x(3 - x - y),dy = l[3y - xy - tfracy^22r]0^x = 3x - x^2 - tfracx^22 = 3x - tfrac3x^22
Em seguida, integramos em x:
integral0^1l(3x - tfrac3x^22r),dx = l[tfrac3x^22 - tfrac3x^36r]0^1 = tfrac32 - tfrac12 = 1

Resposta

1 u.v.

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