Calcular o volume do tetraedro ABCD , sendo A(1,2,1), B(0,1,5), C(-1,2,1) e D(2,1,3).
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos vértices do tetraedro e pede o volume. Informações fornecidas:
A(1,2,1)
B(0,1,5)
C(-1,2,1)
D(2,1,3)
Pergunta: calcular o volume do tetraedro ABCD.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática curta e intuitiva): se tomarmos um vértice (por exemplo A) e formarmos os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD}, o volume do paralelepípedo gerado por esses três vetores é dado pelo valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores:
Breve intuição do fator \dfrac{1}{6}: um paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes formados pelas mesmas arestas, por isso cada tetraedro tem 1/6 do volume do paralelepípedo. Outra maneira de ver é que a base triangular tem área metade da base paralelogramo e a altura é a mesma; combinando fatores dá 1/6.
Passo 3
Calcular os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD} subtraindo coordenada a coordenada (\overrightarrow{XY} = Y - X):