Calcular o volume do tetraedro ABCD , sendo A(1,2,1), B(0,1,5), C(-1,2,1) e D(2,1,3).

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do tetraedro e pede o volume. Informações fornecidas:
  • A(1,2,1)
  • B(0,1,5)
  • C(-1,2,1)
  • D(2,1,3)
Pergunta: calcular o volume do tetraedro ABCD.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática curta e intuitiva): se tomarmos um vértice (por exemplo A) e formarmos os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD}, o volume do paralelepípedo gerado por esses três vetores é dado pelo valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas (ou linhas) são esses vetores:
\text{Vol}_{\text{paralelepípedo}} = \left|\det\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\big)\right|.í
O tetraedro formado por esses três vetores a partir de A corresponde a uma fração desse paralelepípedo. A relação padrão é
\text{Vol}_{\text{tetraedro}}=\frac{1}{6}\left|\det\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\big)\right|.
Breve intuição do fator \dfrac{1}{6}: um paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros congruentes formados pelas mesmas arestas, por isso cada tetraedro tem 1/6 do volume do paralelepípedo. Outra maneira de ver é que a base triangular tem área metade da base paralelogramo e a altura é a mesma; combinando fatores dá 1/6.

Passo 3

Calcular os vetores \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD} subtraindo coordenada a coordenada ( \overrightarrow{XY} = Y - X):
\overrightarrow{AB}=B-A=(0-1,\;1-2,\;5-1)=(-1,-1,4),
\overrightarrow{AC}=C-A=(-1-1,\;2-2,\;1-1)=(-2,0,0),
\overrightarrow{AD}=D-A=(2-1,\;1-2,\;3-1)=(1,-1,2).

Passo 4

Montar a matriz cujas colunas são os vetores \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}:
M=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 1\\[4pt] -1 & 0 & -1\\[4pt] 4 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é o produto misto (triple scalar product) dos três vetores.]

Passo 5

Calcular o determinante de M por expansão (fórmula para determinante 3\times3):
\det(M)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).
Aqui a_{11}=-1,\\ a_{12}=-2,\\ a_{13}=1,\\ a_{21}=-1,\\ a_{22}=0,\\ a_{23}=-1,\\ a_{31}=4,\\ a_{32}=0,\\ a_{33}=2. Agora calculamos os menores:
a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}=0\cdot2-(-1)\cdot0=0,
a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}=(-1)\cdot2-(-1)\cdot4=-2+4=2,
a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}=(-1)\cdot0-0\cdot4=0.
Substituindo na fórmula:
\det(M)=(-1)\cdot 0 -(-2)\cdot 2 + 1\cdot 0 = 0 + 4 + 0 = 4.

Passo 6

Volume do tetraedro:
\text{Vol}=\frac{1}{6}\left|\det(M)\right|=\frac{1}{6}\cdot |4|=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Interpretando: o volume do tetraedro ABCD é \dfrac{2}{3} unidades de volume cúbicas.

Passo 7

Resumo rápido do procedimento para usar na prova (cola mental amigável):
  • formar vetores a partir de um vértice: \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD};
  • montar matriz 3\times3 com esses vetores como colunas;
  • calcular determinante (valor absoluto) e dividir por 6.
    Isto dá o volume do tetraedro.

Resposta

\dfrac{2}{3}

Exercícios relacionados