Sobre coplanariedade:
Os pontos A(1,0,3), B(0,5,7) e C(-1,2,1) são coplanares? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá três pontos no espaço e pede para saber se eles são coplanares, com justificativa. Os dados são:
  • A(1,0,3)
  • B(0,5,7)
  • C(-1,2,1)
A pergunta é: os pontos A, B e C são coplanares? É preciso justificar a resposta.

Passo 2

O que significa “coplanares” (explicação didática curtinha e útil): três pontos estão em um mesmo plano quando existe um plano que passa por todos os três. Na prática há duas maneiras simples de justificar isso:
  • mostrar explicitamente um plano que contém os três pontos (ex.: achar uma equação do plano e checar que os três pontos satisfazem essa equação);
  • ou mostrar que os vetores formados por dois pares desses pontos são linearmente independentes (então geram uma direção de plano) — se forem múltiplos, os pontos são colineares, e pontos colineares também pertencem a muitos planos, logo ainda são coplanares.
Vou usar a construção do plano a partir dos vetores \vec{AB} e \vec{AC}, obter um vetor normal por produto vetorial e, a partir dele, escrever a equação do plano e verificar que A,B,C satisfazem.

Passo 3

Calcular os vetores \vec{AB} e \vec{AC} (subtraindo coordenadas do ponto inicial para o final; cada coordenada entra em \TeX):
\vec{AB}=B-A=(0-1,\;5-0,\;7-3)=(-1,\;5,\;4),
\vec{AC}=C-A=(-1-1,\;2-0,\;1-3)=(-2,\;2,\;-2).

Passo 4

Verificar se \vec{AB} e \vec{AC} são múltiplos (ou seja, linearmente dependentes). Se existisse k tal que \vec{AB}=k\vec{AC}, então as razões das componentes seriam iguais:
\frac{-1}{-2}=\tfrac{1}{2},\qquad \frac{5}{2}=2{,}5,\qquad \frac{4}{-2}=-2.
Como \tfrac{1}{2}, 2{,}5 e -2 são diferentes, não existe tal k. Logo \vec{AB} e \vec{AC} não são múltiplos; são linearmente independentes e, portanto, determinam um plano único que contém A,B,C.
(Observação amigável: mesmo se fossem múltiplos — isto é, se os três pontos fossem colineares — eles também seriam coplanares, porque uma reta está contida em infinitos planos. Mas aqui temos a situação “não colinear”, o que dá um plano bem definido.)

Passo 5

Para achar explicitamente a equação do plano que contém A,B,C podemos calcular um vetor normal \vec{n} ao plano usando o produto vetorial \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}. Vou calcular componente a componente:
\vec{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] -1 & 5 & 4\\[4pt] -2 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(5\cdot(-2)-4\cdot2)-\mathbf{j}((-1)\cdot(-2)-4\cdot(-2))+\mathbf{k}((-1)\cdot2-5\cdot(-2)).
Calculemos cada termo:
\begin{aligned} \text{componente } \mathbf{i}:&\;5(-2)-4(2)=-10-8=-18,\\\ \text{componente } \mathbf{j}:&\;(-1)(-2)-4(-2)=2+8=10\quad\text{(com sinal negativo na fórmula dá }-10\text{)},\\\ \text{componente } \mathbf{k}:&\;(-1)(2)-5(-2)=-2+10=8. \end{aligned}óá
Portanto
\vec{n}=(-18,\,-10,\;8).
Podemos simplificar esse vetor normal dividindo por -2 (qualquer múltiplo não-nulo é normal também), obtendo
\vec{n}=(9,\;5,\;-4).]

Passo 6

Usar o vetor normal para escrever a equação do plano. A forma vetorial da equação é \vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0, onde \vec{r}=(x,y,z) e \vec{r_0} é um ponto conhecido do plano (usei A). Assim:
(9,5,-4)\cdot\bigl[(x,y,z)-(1,0,3)\bigr]=0.
Expandindo:
9(x-1)+5(y-0)-4(z-3)=0.
Simplificando:
9x-9+5y-4z+12=0 \quad\Longrightarrow\quad 9x+5y-4z+3=0.
Essa é a equação do plano que contém A e que, por construção, também contém os pontos obtidos a partir de \vec{AB} e \vec{AC}.

Passo 7

Verificar que B e C satisfazem a equação do plano (cheque rápido para garantir que não houve erro de conta):
Para B(0,5,7):
9\cdot0+5\cdot5-4\cdot7+3 = 0+25-28+3=0.
Para C(-1,2,1):
9\cdot(-1)+5\cdot2-4\cdot1+3 = -9+10-4+3=0.
Ambos satisfazem a equação, portanto A,B,C pertencem ao mesmo plano.

Passo 8

Conclusão didática e ânimo: achamos explicitamente um vetor normal e a equação do plano que contém os três pontos, e verificamos que os três pontos satisfazem essa equação. Logo eles são coplanares. Boa — está feito!

Resposta

Sim.
9x+5y-4z+3=0

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