Sobre coplanariedade:
Os pontos A(1,0,3), B(0,5,7) e C(-1,2,1) são coplanares? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no espaço e pede para saber se eles são coplanares, com justificativa. Os dados são:
A(1,0,3)
B(0,5,7)
C(-1,2,1)
A pergunta é: os pontos A, B e C são coplanares? É preciso justificar a resposta.
Passo 2
O que significa “coplanares” (explicação didática curtinha e útil): três pontos estão em um mesmo plano quando existe um plano que passa por todos os três. Na prática há duas maneiras simples de justificar isso:
mostrar explicitamente um plano que contém os três pontos (ex.: achar uma equação do plano e checar que os três pontos satisfazem essa equação);
ou mostrar que os vetores formados por dois pares desses pontos são linearmente independentes (então geram uma direção de plano) — se forem múltiplos, os pontos são colineares, e pontos colineares também pertencem a muitos planos, logo ainda são coplanares.
Vou usar a construção do plano a partir dos vetores \vec{AB} e \vec{AC}, obter um vetor normal por produto vetorial e, a partir dele, escrever a equação do plano e verificar que A,B,C satisfazem.
Passo 3
Calcular os vetores \vec{AB} e \vec{AC} (subtraindo coordenadas do ponto inicial para o final; cada coordenada entra em \TeX):
\vec{AB}=B-A=(0-1,\;5-0,\;7-3)=(-1,\;5,\;4),
\vec{AC}=C-A=(-1-1,\;2-0,\;1-3)=(-2,\;2,\;-2).
Passo 4
Verificar se \vec{AB} e \vec{AC} são múltiplos (ou seja, linearmente dependentes). Se existisse k tal que \vec{AB}=k\vec{AC}, então as razões das componentes seriam iguais:
Como \tfrac{1}{2}, 2{,}5 e -2 são diferentes, não existe tal k. Logo \vec{AB} e \vec{AC} não são múltiplos; são linearmente independentes e, portanto, determinam um plano único que contém A,B,C.
(Observação amigável: mesmo se fossem múltiplos — isto é, se os três pontos fossem colineares — eles também seriam coplanares, porque uma reta está contida em infinitos planos. Mas aqui temos a situação “não colinear”, o que dá um plano bem definido.)
Passo 5
Para achar explicitamente a equação do plano que contém A,B,C podemos calcular um vetor normal \vec{n} ao plano usando o produto vetorial \vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}. Vou calcular componente a componente:
\begin{aligned} \text{componente } \mathbf{i}:&\;5(-2)-4(2)=-10-8=-18,\\\ \text{componente } \mathbf{j}:&\;(-1)(-2)-4(-2)=2+8=10\quad\text{(com sinal negativo na fórmula dá }-10\text{)},\\\ \text{componente } \mathbf{k}:&\;(-1)(2)-5(-2)=-2+10=8. \end{aligned}óá
Portanto
\vec{n}=(-18,\,-10,\;8).
Podemos simplificar esse vetor normal dividindo por -2 (qualquer múltiplo não-nulo é normal também), obtendo
\vec{n}=(9,\;5,\;-4).]
Passo 6
Usar o vetor normal para escrever a equação do plano. A forma vetorial da equação é \vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r_0})=0, onde \vec{r}=(x,y,z) e \vec{r_0} é um ponto conhecido do plano (usei A). Assim:
Essa é a equação do plano que contém A e que, por construção, também contém os pontos obtidos a partir de \vec{AB} e \vec{AC}.
Passo 7
Verificar que B e C satisfazem a equação do plano (cheque rápido para garantir que não houve erro de conta):
Para B(0,5,7):
9\cdot0+5\cdot5-4\cdot7+3 = 0+25-28+3=0.
Para C(-1,2,1):
9\cdot(-1)+5\cdot2-4\cdot1+3 = -9+10-4+3=0.
Ambos satisfazem a equação, portanto A,B,C pertencem ao mesmo plano.
Passo 8
Conclusão didática e ânimo: achamos explicitamente um vetor normal e a equação do plano que contém os três pontos, e verificamos que os três pontos satisfazem essa equação. Logo eles são coplanares. Boa — está feito!