Determinar o ponto P com abscissa nula e um vetor diretor \vec{v} de cada uma das retas:
\left\{\begin{array}{c}x=2-z \\\ y=1+2 z\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas da reta (em função da variável z):
x=2-z
y=1+2z
e pede duas coisas:
  • determinar o ponto P da reta cuja abscissa (ou seja, coordenada x) é nula, isto é, o ponto com x=0;
  • determinar um vetor diretor \vec{v} da reta.
As informações relevantes que temos são exatamente as duas expressões acima para x e y em função de z. Não há outra informação adicional.

Passo 2

Vamos reescrever a reta em forma paramétrica padrão usando um único parâmetro. Aqui é natural usar o próprio z como parâmetro; chamemos t=z. Assim temos as coordenadas de um ponto genérico da reta em função de t:
x(t)=2-t, \qquad y(t)=1+2t, \qquad z(t)=t.
Agora escrevemos a posição vetorial de um ponto qualquer da reta. Tomando o ponto quando t=0 como ponto base, obtemos a forma
\vec{r}(t)=(2,1,0)+t(-1,2,1).
Explicando: o vetor (2,1,0) é as coordenadas quando t=0 (ou seja, x=2,y=1,z=0), e os coeficientes de t, aqui (-1,2,1), formam um vetor que indica a direção da reta porque ao variar t a posição muda nessa direção.

Passo 3

Identificar o vetor diretor. Pelas equações paramétricas, o vetor formado pelos coeficientes de t é um vetor diretor da reta. Logo um vetor diretor é
\vec{v}=(-1,2,1).
Observação didática: qualquer múltiplo escalar de \vec{v}, por exemplo 2\vec{v}=(-2,4,2), também é um vetor diretor válido — direção não muda com escala.

Passo 4

Agora vamos achar o ponto P com abscissa nula, ou seja, o ponto onde x=0. Usamos a expressão x(t)=2-t e resolvemos para t quando x=0:
0=2-t \quad\Rightarrow\quad t=2.

Passo 5

Com t=2 calculamos as outras coordenadas usando y(t) e z(t):
y(2)=1+2\cdot 2=1+4=5, \qquad z(2)=2.
Portanto o ponto pedido é
P=(0,5,2).

Passo 6

Verificação rápida e prática: substituir z=2 nas equações originais dá x=2-2=0 e y=1+2\cdot2=5, que confirma que P=(0,5,2) realmente pertence à reta. E o vetor diretor \vec{v}=(-1,2,1) reproduz corretamente as dependências lineares de x,y,z com o parâmetro t.

Resposta

P=(0,5,2)
\vec{v}=(-1,2,1)

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