Determinar o ponto P com abscissa nula e um vetor diretor \vec{v} de cada uma das retas:
\frac{x-4}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{-2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a reta dada pela igualdade
\frac{x-4}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{-2}.
As perguntas são:
  • Determinar o ponto P da reta cuja abscissa (ou seja, a coordenada x) é zero.
  • Determinar um vetor diretor \vec{v} da reta (um vetor paralelo à reta).
Informações relevantes fornecidas:
  • A reta está escrita na forma simétrica \dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+1}{-2}.
  • Dos denominadores dessa forma simétrica surgem candidatos naturais para as componentes do vetor diretor.

Passo 2

Entendendo a forma simétrica e como achar a forma paramétrica (a explicação básica que serve para qualquer reta nesse tipo de exercício).
Seja uma igualdade
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.
Podemos introduzir um parâmetro \lambda igual a esse valor comum, isto é,
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}=\lambda.
Isto gera diretamente as equações paramétricas da reta:
x = x_0 + a\lambda,\qquad y = y_0 + b\lambda,\qquad z = z_0 + c\lambda.
Explicando cada símbolo:
  • x_0,y_0,z_0 é um ponto conhecido da reta (o “ponto de partida” da forma simétrica).
  • a,b,c são números que determinam a direção da reta.
  • \lambda é o parâmetro real que percorre a reta.
    Um vetor diretor da reta é qualquer vetor proporcional a (a,b,c), por exemplo \vec{v}=(a,b,c).

Passo 3

Aplicando isso à reta dada. Identificando os termos em
\frac{x-4}{2}=\frac{y-0}{-1}=\frac{z+1}{-2},
temos x_0=4, y_0=0, z_0=-1 e a=2, b=-1, c=-2.
Introduzindo o parâmetro \lambda igual ao valor comum,
obtemos as equações paramétricas:
x = 4 + 2\lambda,
y = 0 + (-1)\lambda = -\lambda,
z = -1 + (-2)\lambda = -1 - 2\lambda.

Passo 4

Agora impomos a condição “abscissa nula”, ou seja, x=0. Usamos a equação paramétrica de x:
0 = 4 + 2\lambda.
Resolvendo essa equação para \lambda:
2\lambda = -4 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -2.

Passo 5

Com \lambda=-2 calculamos y e z usando as paramétricas:
y = -\lambda = -(-2) = 2,
z = -1 - 2\lambda = -1 - 2(-2) = -1 + 4 = 3.
Portanto o ponto da reta com abscissa zero é
P = (0,\,2,\,3).

Passo 6

Determinar um vetor diretor \vec{v}. Como explicado no Passo 2, as componentes do vetor diretor podem ser tomadas como os denominadores da forma simétrica (a,b,c). Aqui
(a,b,c) = (2,\,-1,\,-2).
Logo um vetor diretor conveniente é
\vec{v} = (2,\,-1,\,-2).
Observação rápida: qualquer vetor proporcional a (2,-1,-2), por exemplo (-4,2,4) ou \tfrac{1}{\sqrt{9}}(2,-1,-2), também seria um vetor diretor válido.

Passo 7

Verificação final (rápida): substituindo P=(0,2,3) nas expressões simétricas:
\frac{0-4}{2}=\frac{-4}{2}=-2,\qquad \frac{2}{-1}=-2,\qquad \frac{3+1}{-2}=\frac{4}{-2}=-2,
todos dão o mesmo valor, então P pertence realmente à reta.

Resposta

P=(0,2,3)
\vec{v}=(2,-1,-2)

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