Dados os vetores
e
que formam um triedro positivo e são perpendiculares. Calcular (
) se
e o ângulo entre
e
é igual a
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei todas as informações do enunciado):
- Vetores
formam um triedro positivo e são perpendiculares entre si. - Módulos dados:
, , . - O ângulo entre
e é (ou seja, essas duas direções são coincidentes e apontam no mesmo sentido). - Pedido: calcular
.
Observação: o enunciado usa a notação
— vou tratá‑la como o produto misto, isto é,
(igual também a
).
Passo 2
Definição e interpretação geométrica do produto misto:
- Por definição
. - Geometricamente,
é o volume do paralelepípedo construído sobre . - O sinal (positivo ou negativo) do produto misto indica a orientação: se o triedro
é positivo, então aponta no mesmo sentido de e o produto misto é positivo.
Passo 3
Fórmulas úteis que vou usar (explicadas):
- Produto vetorial (magnitude): a magnitude de
é
onde
é o ângulo entre
e
. Aqui
é o comprimento de
,
o de
.
- Produto escalar entre
e :
onde
é o ângulo entre
e
.
- Aplicação ao produto misto:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 4
Usar os dados:
é perpendicular a
e
(todos perpendiculares entre si).
- Como
e são perpendiculares, o ângulo entre eles é , então . Logo
- O enunciado diz que o ângulo entre
e é , então e . Além disso o triedro é positivo, o que confirma que o produto misto será positivo (mesmo sentido).
Passo 5
Calcular o produto misto:
Fazendo as contas: