Dados os vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} que formam um triedro positivo e são perpendiculares. Calcular ( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} ) se |\vec{a}|=4,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=3 e o ângulo entre (\vec{a} \times \vec{b}) e \vec{c} é igual a 0^{\circ}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei todas as informações do enunciado):
  • Vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} formam um triedro positivo e são perpendiculares entre si.
  • Módulos dados: |\vec{a}|=4, |\vec{b}|=2, |\vec{c}|=3.
  • O ângulo entre \vec{a}\times\vec{b} e \vec{c} é 0^\circ (ou seja, essas duas direções são coincidentes e apontam no mesmo sentido).
  • Pedido: calcular (\vec{a},\vec{b},\vec{c}).
Observação: o enunciado usa a notação (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) — vou tratá‑la como o produto misto, isto é, (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c} (igual também a \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})).

Passo 2

Definição e interpretação geométrica do produto misto:
  • Por definição (\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}.
  • Geometricamente, |(\vec{a},\vec{b},\vec{c})| é o volume do paralelepípedo construído sobre \vec{a},\vec{b},\vec{c}.
  • O sinal (positivo ou negativo) do produto misto indica a orientação: se o triedro (\vec{a},\vec{b},\vec{c}) é positivo, então \vec{a}\times\vec{b} aponta no mesmo sentido de \vec{c} e o produto misto é positivo.

Passo 3

Fórmulas úteis que vou usar (explicadas):
  • Produto vetorial (magnitude): a magnitude de \vec{a}\times\vec{b} é
|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Aqui |\vec{a}| é o comprimento de \vec{a}, |\vec{b}| o de \vec{b}.
  • Produto escalar entre \vec{u} e \vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
  • Aplicação ao produto misto:
(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=|\vec{a}\times\vec{b}|\,|\vec{c}|\,\cos\psi,
onde \psi é o ângulo entre \vec{a}\times\vec{b} e \vec{c}.

Passo 4

Usar os dados: \vec{a} é perpendicular a \vec{b} e \vec{c} (todos perpendiculares entre si).
  • Como \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares, o ângulo entre eles é \theta=90^\circ, então \sin\theta=1. Logo
|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\,|\vec{b}|=4\cdot2.
  • O enunciado diz que o ângulo entre \vec{a}\times\vec{b} e \vec{c} é 0^\circ, então \psi=0^\circ e \cos\psi=1. Além disso o triedro é positivo, o que confirma que o produto misto será positivo (mesmo sentido).

Passo 5

Calcular o produto misto:
(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=|\vec{a}\times\vec{b}|\,|\vec{c}|\,\cos 0^\circ = (4\cdot2)\cdot 3 \cdot 1.
Fazendo as contas:
(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=8\cdot 3 = 24.

Resposta

24

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