Calcular o volume do tetraedro , sendo dados , e . Em seguida, calcular também a medida da altura desse tetraedro traçada do vértice .
Passo 1
O enunciado pede o volume de um tetraedro cujos vértices são , , e , e em seguida a altura traçada do vértice até a face . Vamos usar produto misto para o volume em e, depois, área de triângulo como base para obter a altura.
Passo 2
Definimos os vetores a partir de :
Passo 3
O volume do tetraedro é
V=16l|ABcdot(ACtimesAD)r|
Calculando ACtimesAD=(16,4,0)
e depois ABcdot(16,4,0)=20,
obtemos
V=16,|20|=103
Passo 4
Para a base BCD, tomamos
BC=C-B=(-2,,3,,4), BD=D-B=(-3,,7,,5)
O produto vetorial é BCtimesBD=(-13,-2,-5)
com módulo raiz198=3raiz22. Logo a área do triângulo BCD é
ÁreaBCD=12,3raiz22=3raiz222 Á
Passo 5
A altura h a partir de A satisfaz
V=13,ÁreaBCDcdot h Longrightarrow h=3VÁreaBCD =3cdot1033raiz222 =203raiz22 =10raiz2233 ÁÁ
Resposta
O volume do tetraedro é V=tfrac103 e a altura a partir de A vale