Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(1 ;-2 ; 3), B(2 ;-1 ;-4), C(0 ; 2 ; 0) e D(-1 ; 6 ; 1). Em seguida, calcular também a medida da altura desse tetraedro traçada do vértice A.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tetraedro cujos vértices são
A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,6,1), e em seguida a altura traçada do vértice A até a face BCD. Vamos usar produto misto para o volume em R^3 e, depois, área de triângulo como base para obter a altura.

Passo 2

Definimos os vetores a partir de A:
AB=B-A=(1,,1,,-7), AC=C-A=(-1,,4,,-3), AD=D-A=(-2,,8,,-2)

Passo 3

O volume do tetraedro é
V=16l|ABcdot(ACtimesAD)r|
Calculando
ACtimesAD=(16,4,0)
e depois
ABcdot(16,4,0)=20,
obtemos
V=16,|20|=103

Passo 4

Para a base BCD, tomamos
BC=C-B=(-2,,3,,4), BD=D-B=(-3,,7,,5)
O produto vetorial é
BCtimesBD=(-13,-2,-5)
com módulo raiz198=3raiz22. Logo a área do triângulo BCD é
ÁreaBCD=12,3raiz22=3raiz222 Á

Passo 5

A altura h a partir de A satisfaz
V=13,ÁreaBCDcdot h Longrightarrow h=3VÁreaBCD =3cdot1033raiz222 =203raiz22 =10raiz2233 ÁÁ

Resposta

O volume do tetraedro é V=tfrac103 e a altura a partir de A vale
h=203raiz22l(ou;tfrac10raiz2233r)

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