Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da aplicação linear . é diagonalizável?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da aplicação linear . Além disso, vamos verificar se é diagonalizável. Para isso, precisamos entender conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, valores e vetores próprios, e diagonalização.
Passo 2
Primeiro, representamos a aplicação linear como uma matriz. A matriz associada a é formada pelos coeficientes das variáveis nas expressões de :
Passo 3
O próximo passo é encontrar o polinômio característico de A . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) , onde I é a matriz identidade e lambda é um escalar (autovalor).
Isso ocorre porque a matriz é triangular superior, facilitando o cálculo do determinante como o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 5
Assim, o polinômio característico é:
p(lambda) = (1 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda)
Passo 6
Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Portanto, resolvemos p(lambda) = 0 :
(1 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda) = 0
Isso nos dá os autovalores:
lambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = 2
Passo 7
Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada lambda , resolvemos o sistema (A - lambda I)v = 0 .
Para lambda1 = 1 :
A - I = 0 & -1 & 2 0 & 2 & -5 0 & 0 & 1
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor correspondente v1 .
Para lambda2 = 3 :
A - 3I = -2 & -1 & 2 0 & 0 & -5 0 & 0 & -1
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor correspondente v2 .
Para lambda3 = 2 :
A - 2I = -1 & -1 & 2 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor correspondente v3 .
Passo 8
Após resolver os sistemas, encontramos os autovetores:
v1 = 1 1 1 , v2 = 1 -1 1 , v3 = 2 5 1
Passo 9
Para verificar se T é diagonalizável, precisamos que existam três autovetores linearmente independentes. Como encontramos três autovalores distintos e seus respectivos autovetores são linearmente independentes, concluímos que T é diagonalizável.
Resposta
O polinômio característico de T é p(lambda) = (1 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda) . Os autovalores são lambda1 = 1 , lambda2 = 3 e lambda3 = 2 , com os respectivos autovetores v1 = [1 1 1]^T , v2 = [1 -1 1]^T e v3 = [2 5 1]^T . A aplicação linear T é diagonalizável.