Determine o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da aplicação linear T(x, y, z)=(x-y+2 z, 3 y-5 z, 2 z). T é diagonalizável?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da aplicação linear T(x, y, z) = (x - y + 2z, 3y - 5z, 2z) . Além disso, vamos verificar se T é diagonalizável. Para isso, precisamos entender conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, valores e vetores próprios, e diagonalização.

Passo 2

Primeiro, representamos a aplicação linear T como uma matriz. A matriz associada a T é formada pelos coeficientes das variáveis nas expressões de T(x, y, z) :
A = 1 & -1 & 2 0 & 3 & -5 0 & 0 & 2

Passo 3

O próximo passo é encontrar o polinômio característico de A . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) , onde I é a matriz identidade e lambda é um escalar (autovalor).
A - lambda I = 1 - lambda & -1 & 2 0 & 3 - lambda & -5 0 & 0 & 2 - lambda

Passo 4

Calculamos o determinante de A - lambda I :
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot (3 - lambda) cdot (2 - lambda)
Isso ocorre porque a matriz é triangular superior, facilitando o cálculo do determinante como o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 5

Assim, o polinômio característico é:
p(lambda) = (1 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda)

Passo 6

Os autovalores são as raízes do polinômio característico. Portanto, resolvemos p(lambda) = 0 :
(1 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda) = 0
Isso nos dá os autovalores:
lambda1 = 1, lambda2 = 3, lambda3 = 2

Passo 7

Agora, encontramos os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada lambda , resolvemos o sistema (A - lambda I)v = 0 .
Para lambda1 = 1 :
A - I = 0 & -1 & 2 0 & 2 & -5 0 & 0 & 1
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor correspondente v1 .
Para lambda2 = 3 :
A - 3I = -2 & -1 & 2 0 & 0 & -5 0 & 0 & -1
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor correspondente v2 .
Para lambda3 = 2 :
A - 2I = -1 & -1 & 2 0 & 1 & -5 0 & 0 & 0
Resolvendo o sistema, obtemos o autovetor correspondente v3 .

Passo 8

Após resolver os sistemas, encontramos os autovetores:
v1 = 1 1 1 , v2 = 1 -1 1 , v3 = 2 5 1

Passo 9

Para verificar se T é diagonalizável, precisamos que existam três autovetores linearmente independentes. Como encontramos três autovalores distintos e seus respectivos autovetores são linearmente independentes, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

O polinômio característico de T é p(lambda) = (1 - lambda)(3 - lambda)(2 - lambda) . Os autovalores são lambda1 = 1 , lambda2 = 3 e lambda3 = 2 , com os respectivos autovetores v1 = [1 1 1]^T , v2 = [1 -1 1]^T e v3 = [2 5 1]^T . A aplicação linear T é diagonalizável.

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