Para que valor de m os pontos A(4 ; 1 ; 2), B(2 ;-2 ;-3), C(m ;-1 ; 1) e D(3 ;-2 ;-2) são coplanares?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em R^3:
A(4;1;2), B(2;-2;-3), C(m;-1;1) e D(3;-2;-2).
Queremos o valor de m para que esses pontos sejam coplanares.
Para isso usamos a condição de coplanaridade via produto misto (ou volume de tetraedro) nulo.

Passo 2

Calculamos os vetores
AB = B - A = (2-4,,-2-1,,-3-2) = (-2,,-3,,-5),
AC = C - A = (m-4,,-1-1,;1-2) = (m-4,,-2,,-1),
AD = D - A = (3-4,,-2-1,,-2-2) = (-1,,-3,,-4).

Passo 3

O produto misto l(ABtimesACr)cdotAD é o determinante
det -2 & -3 & -5 m-4 & -2 & -1 -1 & -3 & -4
e deve ser zero. Expandindo:
det &= -2l[(-2)(-4)-(-1)(-3)r];-l(-3r)l[(m-4)(-4)-(-1)(-1)r] & +(-5)l[(m-4)(-3)-(-2)(-1)r] &= -2(8-3);+;3l(-4m+16-1r);-;5l(-3m+12-2r) &= -2cdot5 ;+;3(-4m+15);-;5(-3m+10) &= -10 -12m+45 +15m-50 &= 3m -15

Passo 4

Impondo coplanaridade, temos
3m - 15 = 0
logo
m = 5

Resposta

m = 5.

Exercícios relacionados