é uma transformação linear. Em caso afirmativo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação definida por
é uma transformação linear. Se for, também precisamos encontrar uma base e a dimensão do núcleo (conjunto de vetores que manda para o vetor zero) e da imagem (conjunto de todos os vetores que pode produzir). Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e como encontrar a base e as dimensões do núcleo e da imagem usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se é realmente uma transformação linear. Uma transformação é linear se satisfaz duas propriedades:
Adição: para quaisquer vetores em .
Escalar: para qualquer escalar e vetor em .
Vamos verificar essas propriedades para .
Passo 3
Verificando a adição:
Sejam e .
Então,
Aplicando :
Simplificando:
Agora, calculando :
Somando:
Como as duas expressões são iguais, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Verificando a escala:
Sea um escalar e .
Aplicando :
Simplificando:
Assim, a propriedade de escala também é satisfeita.
Passo 5
Como satisfaz as duas propriedades necessárias (adição e escala), podemos concluir que é uma transformação linear.
Agora, vamos encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de .
Passo 6
Para isso, vamos representar como uma matriz. A transformação linear pode ser escrita na forma matricial , onde é a matriz associada a .
Observando as componentes de :
Podemos escrever a matriz A como:
A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2
Passo 7
Encontrando o núcleo de [T):
O núcleo é o conjunto de todos os vetores tais que . Isso equivale a resolver a equação:
Escrevendo o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os vetores (\mathbf{v}] no núcleo.
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
y + z = 0 implies y = -z
Substituindo y = -z na primeira equação:
x + 2(-z) - z = 0 implies x - 2z - z = 0 implies x - 3z = 0 implies x = 3z
Substituindo y = -z e x = 3z na terceira equação:
3z + (-z) - 2z = 0 implies 0 = 0
Isso significa que z é livre. Vamos parametrizar z = t .
Então, as soluções são:
x = 3t, y = -t, z = t
Podemos escrever qualquer vetor no núcleo como:
v = t 3 -1 1 , t in R
Portanto, uma base para o núcleo é 3 -1 1 e a dimensão do núcleo é 1.
Passo 9
Encontrando a imagem de T :
A imagem Im(T) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como Av para algum v em R^3 . A dimensão da imagem é chamada de posto (rank) da matriz A .
Vamos determinar o posto da matriz A :
A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2
Vamos realizar operações elementares para reduzir a matriz a forma escalonada.
Subtraindo a primeira linha da terceira:
1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 0 & -1 & -1
Agora, somando a segunda linha à terceira:
1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
A matriz está em forma escalonada, e temos 2 linhas não nulas. Portanto, o posto de A é 2.
Passo 10
A dimensão da imagem de T é igual ao posto da matriz A , que é 2. Para encontrar uma base para a imagem, podemos tomar as colunas correspondentes aos pivôs na matriz original A :
A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2
As colunas 1 e 2 são as que contêm os pivôs. Portanto, uma base para a imagem é formada pelas colunas 1 e 2 de A :
1 0 1 , 2 1 1
Resposta
Sim, T é uma transformação linear. Uma base para o núcleo de T é 3 -1 1 e a dimensão do núcleo é 1. Uma base para a imagem de T é 1 0 1 , 2 1 1 e a dimensão da imagem é 2.