Verifique se T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z)=(x+2 y-z, y+z, x+y-2 z)
é uma transformação linear. Em caso afirmativo, encontre uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a transformação T: R^3 R^3 definida por
T(x, y, z) = (x + 2y - z, , y + z, , x + y - 2z)
é uma transformação linear. Se for, também precisamos encontrar uma base e a dimensão do núcleo (conjunto de vetores que T manda para o vetor zero) e da imagem (conjunto de todos os vetores que T pode produzir). Para resolver isso, vamos lembrar o que é uma transformação linear e como encontrar a base e as dimensões do núcleo e da imagem usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se T é realmente uma transformação linear. Uma transformação T é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v) para quaisquer vetores u, v em R^3 .
  2. Escalar: T(cu) = cT(u) para qualquer escalar c e vetor u em R^3 .
Vamos verificar essas propriedades para T .

Passo 3

Verificando a adição:
Sejam u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) .
Então,
u + v = (x1 + x2, , y1 + y2, , z1 + z2)
Aplicando T :
T(u + v) = ((x1 + x2) + 2(y1 + y2) - (z1 + z2), , (y1 + y2) + (z1 + z2), , (x1 + x2) + (y1 + y2) - 2(z1 + z2))
Simplificando:
= (x1 + 2y1 - z1 + x2 + 2y2 - z2, , y1 + z1 + y2 + z2, , x1 + y1 - 2z1 + x2 + y2 - 2z2)
Agora, calculando T(u) + T(v) :
T(u) = (x1 + 2y1 - z1, , y1 + z1, , x1 + y1 - 2z1)
T(v) = (x2 + 2y2 - z2, , y2 + z2, , x2 + y2 - 2z2)
Somando:
T(u) + T(v) = (x1 + 2y1 - z1 + x2 + 2y2 - z2, , y1 + z1 + y2 + z2, , x1 + y1 - 2z1 + x2 + y2 - 2z2)
Como as duas expressões são iguais, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Verificando a escala:
Sea c um escalar e u = (x, y, z) .
Aplicando T :
T(cu) = T(cx, cy, cz) = (cx + 2(cy) - cz, , cy + cz, , cx + cy - 2cz)
Simplificando:
= c(x + 2y - z, , y + z, , x + y - 2z) = cT(u)
Assim, a propriedade de escala também é satisfeita.

Passo 5

Como T satisfaz as duas propriedades necessárias (adição e escala), podemos concluir que T é uma transformação linear.
Agora, vamos encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem de T .

Passo 6

Para isso, vamos representar T como uma matriz. A transformação linear T pode ser escrita na forma matricial T(v) = Av , onde A é a matriz associada a T .
Observando as componentes de T(x, y, z) :
T(x, y, z) = x + 2y - z y + z x + y - 2z
Podemos escrever a matriz A como:
A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2

Passo 7

Encontrando o núcleo de [T):
O núcleo é o conjunto de todos os vetores tais que . Isso equivale a resolver a equação:
Escrevendo o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os vetores (\mathbf{v}] no núcleo.

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação:
y + z = 0 implies y = -z
Substituindo y = -z na primeira equação:
x + 2(-z) - z = 0 implies x - 2z - z = 0 implies x - 3z = 0 implies x = 3z
Substituindo y = -z e x = 3z na terceira equação:
3z + (-z) - 2z = 0 implies 0 = 0
Isso significa que z é livre. Vamos parametrizar z = t .
Então, as soluções são:
x = 3t, y = -t, z = t
Podemos escrever qualquer vetor no núcleo como:
v = t 3 -1 1 , t in R
Portanto, uma base para o núcleo é 3 -1 1 e a dimensão do núcleo é 1.

Passo 9

Encontrando a imagem de T :
A imagem Im(T) é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como Av para algum v em R^3 . A dimensão da imagem é chamada de posto (rank) da matriz A .
Vamos determinar o posto da matriz A :
A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2
Vamos realizar operações elementares para reduzir a matriz a forma escalonada.
Subtraindo a primeira linha da terceira:
1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 0 & -1 & -1
Agora, somando a segunda linha à terceira:
1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0
A matriz está em forma escalonada, e temos 2 linhas não nulas. Portanto, o posto de A é 2.

Passo 10

A dimensão da imagem de T é igual ao posto da matriz A , que é 2. Para encontrar uma base para a imagem, podemos tomar as colunas correspondentes aos pivôs na matriz original A :
A = 1 & 2 & -1 0 & 1 & 1 1 & 1 & -2
As colunas 1 e 2 são as que contêm os pivôs. Portanto, uma base para a imagem é formada pelas colunas 1 e 2 de A :
1 0 1 , 2 1 1

Resposta

Sim, T é uma transformação linear. Uma base para o núcleo de T é 3 -1 1 e a dimensão do núcleo é 1. Uma base para a imagem de T é 1 0 1 , 2 1 1 e a dimensão da imagem é 2.

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