Calcular y^prime :
y=(cos x)^x

Passo 1

O enunciado nos dá a função y = (cos x)^x e pede y'. O conteúdo aqui é derivação de função da forma f(x)^g(x), e vamos usar log-diferenciação, ou seja, aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a derivada.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural a ambos os lados:
ln y = lnl((cos x)^xr) = x,ln(cos x)

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo usamos a derivada de ln y e, no direito, a regra do produto:
ddx(ln y) = ddxl(x,ln(cos x)r)
1y,y' = 1cdot ln(cos x) + xcdot ddxl(ln(cos x)r)
Como
ddxl(ln(cos x)r) = -tan x,
segue que
y'y = ln(cos x) - x,tan x

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por y para isolar y'. Voltando à expressão original de y, temos
y' = yl(ln(cos x) - x,tan xr) = (cos x)^xl(ln(cos x) - x,tan xr)

Resposta

y' = (cos x)^xl(ln(cos x) - x,tan xr)

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