Calcule
, usando a Quadratura Gaussiana com dois pontos.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente aproximar
usando a Quadratura Gaussiana de 2 pontos. Isso cai em Métodos Numéricos (integração aproximada).
O que a gente vai precisar:
O que a gente vai precisar:
- transformar o intervalo
em , - usar os nós e pesos da regra de Gauss–Legendre para 2 pontos,
- avaliar a função nesses pontos e
- montar a soma ponderada.
Passo 2
A ideia da Quadratura de Gauss é aproximar
escolhendo nós
e pesos
que fazem a fórmula ser exata pra polinômios de grau até
.
Para (regra de 2 pontos) temos
Para
Passo 3
Como nosso intervalo é
, fazemos a troca de variável
com
e
. Então
[
\int_{0}^{\pi} f(x),dx
\int_{-1}^{1}
f!\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{\pi}{2},t\Bigr)
,\frac{\pi}{2},dt.
]
f!\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{\pi}{2},t\Bigr)
,\frac{\pi}{2},dt.
]
Passo 4
Aplicando a regra de 2 pontos:
-
e , - pesos
.
Definimos
logo
Aí avaliamos
:
Passo 5
Agora é só montar a soma ponderada com o fator
:
[
\int_{0}^{\pi}f(x),dx
\approx
\frac{\pi}{2},\bigl(f_1 + f_2\bigr)
\frac{\pi}{2},(1.433 - 0.782)
\approx
1.5708 \times 0.651
\approx
1.02.
]
\approx
1.5708 \times 0.651
\approx
1.02.
]
Resposta
A aproximação pelo método de Gauss 2 pontos fica