Calcule integral0^pi[cos x+e^-x^2] d x, usando a Quadratura Gaussiana com dois pontos.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar
integral0^pil[cos x + e^-x^2r],dx
usando a Quadratura Gaussiana de 2 pontos. Isso cai em Métodos Numéricos (integração aproximada).
O que a gente vai precisar:
  1. transformar o intervalo [0,pi] em [-1,1],
  2. usar os nós e pesos da regra de Gauss–Legendre para 2 pontos,
  3. avaliar a função nesses pontos e
  4. montar a soma ponderada.

Passo 2

A ideia da Quadratura de Gauss é aproximar
integral-1^1 g(t),dt ;approx; sumi=1^n wi,g(ti)
escolhendo nós ti e pesos wi que fazem a fórmula ser exata pra polinômios de grau até 2n-1.
Para n=2 (regra de 2 pontos) temos
t1 = -1raiz3, t2 = +1raiz3, w1 = w2 = 1

Passo 3

Como nosso intervalo é [0,pi], fazemos a troca de variável
x = a+b2 + b-a2,t , dx = b-a2,dt
com a=0 e b=pi. Então
[
\int_{0}^{\pi} f(x),dx

\int_{-1}^{1}
f!\Bigl(\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{\pi}{2},t\Bigr)
,\frac{\pi}{2},dt.
]

Passo 4

Aplicando a regra de 2 pontos:
  • t1=-tfrac1raiz3 e t2=+tfrac1raiz3,
  • pesos w1=w2=1.
Definimos
xi = pi2 + pi2,ti,
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x1 = pi2l(1 - tfrac1raiz3r)approx0.663, x2 = pi2l(1 + tfrac1raiz3r)approx2.478
Aí avaliamos f(x)=cos x + e^-x^2:
f1 = f(x1) = cos(0.663) + e^-0.663^2 approx 0.789 + 0.644 = 1.433,
f2 = f(x2) = cos(2.478) + e^-2.478^2 approx -0.784 + 0.002 = -0.782

Passo 5

Agora é só montar a soma ponderada com o fator tfracb-a2 = tfracpi2:
[
\int_{0}^{\pi}f(x),dx
\approx
\frac{\pi}{2},\bigl(f_1 + f_2\bigr)

\frac{\pi}{2},(1.433 - 0.782)
\approx
1.5708 \times 0.651
\approx
1.02.
]

Resposta

A aproximação pelo método de Gauss 2 pontos fica
boxed1.02(aprox)

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