Seja o PVI . Trabalahdno com quatro casas deciamais, utilize o método de Euler para aproximar com .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos o PVI
e a gente quer aproximar usando o método de Euler com quatro casas decimais, de forma que o erro final seja no máximo .
Conteúdo envolvido: equações diferenciais, método de Euler explícito e estimativa de erro global. Vamos precisar:
Saber como o método de Euler funciona passo a passo.
Entender a fórmula de estimativa de erro global para esse método.
Passo 2
Primeiro, recapitula o método de Euler explícito. Se tivermos
e um passo , então definimos
No nosso caso . Então cada iteração é
Isso é a parte prática de calcular.
Passo 3
Agora, vamos ao critério de passo para garantir erro .
Teoria da estimativa de erro global (ordem 1) diz que, se for contínua e limitada por em , e tiver constante de Lipschitz , então
No nosso PVI, , logo
Então
Queremos , ou seja
Como o intervalo é de 0 até , escolhemos um número inteiro de passos. Se tomarmos 2 passos, , que é menor que . Beleza!
Passo 4
Agora aplicamos o método de Euler com y1 = y0 + 0.02,y0 = 1 + 0.02cdot1 = 1.02 .
Ponto inicial: y2 = y1 + 0.02,y1 = 1.02 + 0.02cdot1.02 = 1.02,(1.02)=1.0404 , .
Iteração 1:E .
Iteração 2:E .
Então a nossa aproximação de é .
Passo 5
Verificando o erro real: o valor exato é |,e^0.04-1.0404|approx0.0004108<5times10^-4, .
logo estamos dentro da tolerância.
Resposta
Aproximação de boxed1.0404 pelo método de Euler com quatro casas decimais e erro é