Seja o PVI ly^prime=y y(0)=1. Trabalahdno com quatro casas deciamais, utilize o método de Euler para aproximar y(0,04) com varepsilon <= 5 times 10^-4.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o PVI
y' = y, y(0)=1
e a gente quer aproximar usando o método de Euler com quatro casas decimais, de forma que o erro final seja no máximo .
Conteúdo envolvido: equações diferenciais, método de Euler explícito e estimativa de erro global. Vamos precisar:
  1. Saber como o método de Euler funciona passo a passo.
  2. Entender a fórmula de estimativa de erro global para esse método.

Passo 2

Primeiro, recapitula o método de Euler explícito. Se tivermos
y' = f(x,y), y(x0)=y0,
e um passo yn+1 = yn + h,f(xn,yn), xn+1=xn+h , então definimos
yn+1 = yn + h,yn = yn,(1+h)
No nosso caso . Então cada iteração é
Isso é a parte prática de calcular.

Passo 3

Agora, vamos ao critério de passo |y(xn)-yn|<= M2Ll(e^Lxn-1r),h para garantir erro y''(x)=e^x<= e^0.04, M=e^0.04, L=|partial fpartial y|=1 .
Teoria da estimativa de erro global (ordem 1) diz que, se |,erro,|;<=;e^0.042l(e^0.04-1r),happrox 0.0212385,h for contínua e limitada por h<= 5times10^-40.0212385approx 0.02355 em , e tiver constante de Lipschitz , então
No nosso PVI, , logo
Então
Queremos , ou seja
Como o intervalo é de 0 até , escolhemos um número inteiro de passos. Se tomarmos 2 passos, , que é menor que . Beleza!

Passo 4

Agora aplicamos o método de Euler com y1 = y0 + 0.02,y0 = 1 + 0.02cdot1 = 1.02 .
Ponto inicial: y2 = y1 + 0.02,y1 = 1.02 + 0.02cdot1.02 = 1.02,(1.02)=1.0404 , .
  • Iteração 1: E .
  • Iteração 2: E .
Então a nossa aproximação de é .

Passo 5

Verificando o erro real: o valor exato é |,e^0.04-1.0404|approx0.0004108<5times10^-4, .
logo estamos dentro da tolerância.

Resposta

Aproximação de boxed1.0404 pelo método de Euler com quatro casas decimais e erro é

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