Ao calcularmos o valor da integral de linha de f(x, y)=x, ao longo da arco C=(x, y) in R^2 ; y=x^2, 0 <= x <= 1, obtemos:
a) 12;
b) 112(5 raiz5-1);
c) 23(5 raiz5-1);
d) 14(raiz5-1);
e) raiz5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha da função f(x, y) = x ao longo do arco C definido por y = x^2 no intervalo de x = 0 até x = 1 . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva C e então calcular a integral usando a parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C . Como y = x^2 , podemos usar x como o parâmetro. Então, definimos:
r(t) = (t, t^2), onde t in [0, 1]
Aqui, t varia de 0 a 1, cobrindo todo o arco de C .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas das componentes de r(t) em relação a t :
r'(t) = ( dxdt, dydt ) = (1, 2t)
Essas derivadas nos ajudam a calcular o diferencial de comprimento ao longo da curva.

Passo 4

A integral de linha de f(x, y) = x ao longo de C é dada por:
integralC f(x, y) , ds = integral0^1 f(r(t)) |r'(t)| , dt
Aqui, |r'(t)| é a norma do vetor derivada, que representa o diferencial de comprimento.

Passo 5

Vamos calcular f(r(t)) :
f(r(t)) = f(t, t^2) = t
E a norma de r'(t) :
|r'(t)| = raiz(1)^2 + (2t)^2 = raiz1 + 4t^2

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
integral0^1 t raiz1 + 4t^2 , dt
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja u = 1 + 4t^2 , então:
dudt = 8t Rightarrow dt = du8t

Passo 7

Substituindo u na integral:
integral t raizu cdot du8t = 18 integral raizu , du
Os t se cancelam, simplificando a integral.

Passo 8

Integrando raizu :
18 cdot 23 u^3/2 + C = 112 u^3/2 + C
Agora, voltamos para u = 1 + 4t^2 :
112 (1 + 4t^2)^3/2 |0^1

Passo 9

Calculando os limites:
Para t = 1 :
112 (1 + 4(1)^2)^3/2 = 112 (5)^3/2 = 112 cdot 5raiz5
Para t = 0 :
112 (1 + 0)^3/2 = 112

Passo 10

Subtraindo os limites:
112 cdot 5raiz5 - 112 = 112 (5raiz5 - 1)
Simplificando:
5raiz5 - 112

Resposta

A opção correta é a b) 112(5 raiz5-1) .

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