Ao calcularmos o valor da integral de linha de , ao longo da arco , obtemos:
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a integral de linha da função ao longo do arco definido por no intervalo de até . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva e então calcular a integral usando a parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como , podemos usar como o parâmetro. Então, definimos:
Aqui, varia de 0 a 1, cobrindo todo o arco de .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas das componentes de em relação a :
Essas derivadas nos ajudam a calcular o diferencial de comprimento ao longo da curva.
Passo 4
A integral de linha de ao longo de é dada por:
Aqui, é a norma do vetor derivada, que representa o diferencial de comprimento.
Passo 5
Vamos calcular :
E a norma de :
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja , então: