(1,5 pontos) Diga se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
a) Se uma sequência |an| converge então an também converge.
b) Se an <= bn, para todo n in N onde an é limitada e bn é crescente então an converge.
c) Se (-1)^n an converge então an também é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para decidirmos se três afirmações sobre convergência de sequências são verdadeiras ou falsas e justificar. O conteúdo envolve:
– convergência de an versus convergência de lvert anrvert,
– monotonia e limite de sequências (teorema de sequência monótona e limitada),
– comportamento de sequência multiplicada por (-1)^n (subsequências par e ímpar).

Passo 2

Analisando a afirmativa (a):
“Se uma sequência lvert anrvert converge então an também converge.”
Sabemos que, em geral, an convergente implica lvert anrvert convergente, mas o recíproco não vale.
Contra-exemplo: seja
an = (-1)^n
Então lvert anrvert = 1 para todo n, logo lvert anrvert converge (a 1), mas an alterna entre 1 e -1, logo não converge.
Portanto (a) é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa (b):
“Se an <= bn para todo n, onde an é limitada e bn é crescente, então an converge.”
O teorema de sequência monótona diz que sequência crescente e limitada converge, mas aqui quem é monótona é bn e não se exige que bn seja limitada, nem que haja “encapsulamento” de an por uma outra sequência convergente.
Contra-exemplo: seja
an = (-1)^n, bn = n
Então an <= bn para todo n, an é limitada (entre -1 e 1) e bn é crescente, mas an não converge.
Logo (b) é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa (c):
“Se (-1)^n an converge então an também converge.”
Novamente usamos contra-exemplo: seja
an = (-1)^n
Então
(-1)^n an = (-1)^ncdot(-1)^n = (-1)^2n = 1
para todo n, logo (-1)^n an converge (a 1), mas an = (-1)^n não converge.
Portanto (c) é falsa.

Resposta

a) Falsa
b) Falsa
c) Falsa

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