(1,5 pontos) Diga se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta.
a) Se uma sequência
converge então
também converge.
b) Se
, para todo
onde
é limitada e
é crescente então
converge.
c) Se
converge então
também é convergente.
a) Se uma sequência
b) Se
c) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidirmos se três afirmações sobre convergência de sequências são verdadeiras ou falsas e justificar. O conteúdo envolve:
– convergência de versus convergência de
,
– monotonia e limite de sequências (teorema de sequência monótona e limitada),
– comportamento de sequência multiplicada por (subsequências par e ímpar).
– convergência de
– monotonia e limite de sequências (teorema de sequência monótona e limitada),
– comportamento de sequência multiplicada por
Passo 2
Analisando a afirmativa (a):
“Se uma sequência converge então
também converge.”
Sabemos que, em geral, convergente implica
convergente, mas o recíproco não vale.
Contra-exemplo: seja
“Se uma sequência
Sabemos que, em geral,
Contra-exemplo: seja
Então
para todo
, logo
converge (a 1), mas
alterna entre
e
, logo não converge.
Portanto (a) é falsa.
Portanto (a) é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa (b):
“Se para todo
, onde
é limitada e
é crescente, então
converge.”
O teorema de sequência monótona diz que sequência crescente e limitada converge, mas aqui quem é monótona é e não se exige que
seja limitada, nem que haja “encapsulamento” de
por uma outra sequência convergente.
Contra-exemplo: seja
“Se
O teorema de sequência monótona diz que sequência crescente e limitada converge, mas aqui quem é monótona é
Contra-exemplo: seja
Então
para todo
,
é limitada (entre
e
) e
é crescente, mas
não converge.
Logo (b) é falsa.
Logo (b) é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa (c):
“Se converge então
também converge.”
Novamente usamos contra-exemplo: seja
“Se
Novamente usamos contra-exemplo: seja
Então
para todo
, logo
converge (a 1), mas
não converge.
Portanto (c) é falsa.
Portanto (c) é falsa.
Resposta
a) Falsa
b) Falsa
c) Falsa
b) Falsa
c) Falsa